本篇文章介绍的是另一种最短路径问题，在人教版八年级轴对称那一章的课题学习中，曾经介绍过一种叫做造桥选址的问题。

旧文章：

造桥选址问题

造桥选址问题解2013成都市中考数学压轴题

今天讲的其实一种变形，但是本质上面都涉及到了平移的知识。

【题1】

(2019•深圳)如图抛物线y＝ax²+bx+c经过点A(﹣1，0)，点C(0，3)，且OB＝OC．

(1)求抛物线的解析式及其对称轴；

(2)点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．

【分析】

最短路径问题里面，我们要抓住的是最基础的将军饮马问题，考试中也通常会利用到其中的解题思想。比如图形的变换，又比如两点之间线段最短，或者三角形三边关系等等。无论题目给的多么复杂，绝大多数都是与此相关的。

本题中四边形的周长由四条边的长度相加而成，可以发现有两条边的长度是固定的，那么只需要确定CD与AE的和最小即可。

由于此题与将军饮马有点类似，但是D、E是两个动点，如果能把它们合并为一个点就好了。

所以我们可以考虑用平移的思想。将AE向上平移一个单位长度，或者CD向下平移一个单位长度，使得D与E是重合的，这时候就可以转化为将军饮马问题了。

【答案】

抛物线的表达式为：y＝﹣x²+2x+3，

函数的对称轴为：x＝1．

ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC=√10、DE＝1是常数，

故CD+AE最小时，周长最小，

取点C关于函数对称点C′(2，3)，则CD＝C′D，

取点A′(﹣1，1)，则A′D＝AE，

故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小．

四边形ACDE的周长的最小值

＝AC+DE+CD+AE

=√10+1+A′D+DC′

=√10+1+A′C′

=√10+1+√13．

【题2】

(2019•沈阳)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+2(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线经过点D(﹣2，﹣3)和点E(3，2)，点P是第一象限抛物线上的一个动点．

(1)求直线DE和抛物线的表达式；

(2)在y轴上取点F(0，1)，连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N(点M在点N的上方)，且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．

【答案】

抛物线的表达式为：y=-1/2x²+3/2x+2，

直线DE的表达式为：y＝x﹣1．

题(2)中，点P的坐标为(2，3)或(3/2，25/8)．

当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P(2，3)，

过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，

∵MN＝2√2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′(1，2)，

A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3，

联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为(2，1)，

由中点坐标公式得：点A″(3，0)，

同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9，

联立①③并解得：x=5/2，即点M(5/2，3/2)，

点M沿ED向下平移2√2个单位得：N(1/2，-1/2)．

【总结】

此种问题一般以解答题出现的居多，2013成都、2014年广州的压轴题就是此种类型。最近几年出现的频率不是很高，偶尔出现，大家可以稍微关注一下。