本篇算是开始数据处理了。首先明确俩概念：插值和拟合。两者最根本的共同点都是基于现有数据进行预测、推演，比如根据现有的天文观测数据预测天体位置。插值问题是数学史上的经典问题，拉格朗日、高斯、牛顿等著名数学家均有所研究。

插值的定义是：

在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。

插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。

%图像处理时也有“插值”：用来填充图像变换时像素之间的空隙。

说实话一开始我并没想通这个插值中的“插”是怎么回事，interpolation，前边inter是个插，后边polation是个“极”，在电线杆子间搭电线可不太妙……安利一个形象的起搏：生长着的树叶。

叶脉中的主叶脉就好比是自变量轴，那些一级支脉就好比是离散着的数据，它们描摹出一个大致的连续边缘，这个边缘就好比是插补进去的的连续函数，假设在叶子的继续生长过程中，边缘是相似的成比例放大，则可以根据叶子的边缘预测下一个叶脉的相对长短。

我们高中时就用过拟合，比如验证牛顿第二定律的描点连线，拟合得到的函数表达式即与牛顿第二定律相一致，不必经过每个数据点，因为微扰是常态，诚如伽利略所言“懂得忽略什么与懂得重视什么同样重要”。

MATLAB有插值库函数interp，语法如下：

讲义上给出了预测体温的示例：

hours=1:12;

temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24];

h=1:0.1:12;

t=interp1(hours,temps,h,'spline');

plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:')

% 作图，原散点数据用+标记

xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius')

运行后：

如图，曲线经过了每个数据点。

interp2就是2维的插值，即已知数据点(x,y)组成规则的矩阵(或称之为栅格)，可使用meshgrid生成。另外，我觉得优先级更高的是griddata函数，它不要求数据规则排列，∴对随机无规律数据进行插值具有很好的效果。

话说我觉得拟合优先级更高，因为建模是建个规律性的玩意，描述趋势或规律拟合比插值强

拟合的时候是默认样本中已经包含噪声，因此不追求拟合曲线通过每一个数据点，衡量拟合数据的标准则是整体数据拟合的误差最小。一般情况下，MATLAB的曲线拟合方法用的是“最小方差”函数，比如polyfit函数。

ployfit(x,y,n)是找到次数为n的多项式系数，对于数据集合{(xi,yi)}，满足最小平方差，讲义示例

x0=[1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994];%年份

y0=[5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8];%对应年份人口

a=polyfit(x0,y0,1); % 线性拟合

x1=[1949:0.5:1994];

y1=polyval(a,x1);% 多项式拟合即：y1 = a(1)*x1 + a(2);

y1_2005=polyval(a,2005)

b=polyfit(x0,log(y0),1); % 指数函数拟合

y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1);

y2_2005=exp(b(2))*exp(b(1)*2005)

plot(x0,y0,'*')

hold on

plot(x1,y1,'--r')

hold on

plot(x1,y2,'-k')

legend('原数据散点图','线性拟合曲线','指数拟合曲线')

为啥最小二乘法最常见呢？我的直觉是能量(振幅的平方)最小作用原理，噪声就是振动，没有噪声就没有振动没有误差，则是完全准确的拟合。至于证明，我现在不会也不想会~

言归正传，我觉得线性拟合里边多元线性拟合的优先级高，建模肯定得建不少变量，讲义示例

food=[1.5 2 3 4.5 7.5 9.1 10.5 12];

n=length(food);

x=[ones(n,1), food'];

y=[5.6 6.6 7.2 7.8 10.1 10.8 13.5 16.5]';

[b,bint,r,rint,stat] = regress(y,x,0.05)

%regress函数语法：

然后是非线性拟合：非线性曲线拟合是已知输入向量xdata、输出向量ydata，而且还知道输入与输出的函数关系为ydata=F(x,xdata),但不清楚系数向量x,MATLAB中可以用函数curvefit。有个问题是非线性的方法多了去了，多到系统说用户你自己写个自定义非线性处理函数吧~

这里的‘fun’就是自定义的函数

这让主程序更简洁一些：

%%%%%%%%%%%%%%%%函数单独存为m文件%%%%%%%%%%%%%%%%%%

function f=curvefun2(x)

tdata=[100:100:1000]';   cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59]';

f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)- cdata;

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%主程序：

x0=[0.2,0.05,0.05]';

[x,resnorm,residua]=lsqnonlin('curvefun2',x0)

讲义上还给了适用面更广的通用的非线性拟合函数这里的‘model’也是自定义的‘fun’

我还想提一嘴参数估计函数，参数估计包括点估计和区间估计，我们在概率论学过不少。MATLAB统计工具箱提供了很多与参数估计相关的函数，例如计算待估参数及其置信区间、估计服从不同分布的函数的参数。最常用的是高斯/正态分布进行参数估计——

[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=normfit(x),muhat是μ带帽^，sigimahat是σ带帽^，muci是μ的95%置信区间，sigmaci是σ的95%置信区间。

[muhat，sigmahat，muci，sigmaci]=normfit(x，alpha)进行参数估计并计算100(1-alpha)%置信区间。

其他的分布如β分布、泊松分布、二项分布、指数分布、伽马分布等也输出一个分布的参数估计表的向量。

下边是我觉得优先级最高的操作：MATLAB曲线拟合工具箱。

不过我的cftool和讲义上的截图界面不一太一样，功能应该一样，A=rand(4,4)、线性拟合

文件按钮里有我们想要的操作，比如封装成函数、保存、用figure打印图形等。