【概述】

FF 算法与 EK 算法是求解最大流的一般增广路方法，其时间复杂度均为 O(n*m*m)

Ford-Fulkerson 算法是求解最大流的最基础的算法，其核心思想是增广路定理：网络达到最大流当且仅当残留网络中没有增广路

程序的实现过程与增广路求最大流的过程基本一致，即每一次更新都进行一次找增广路然后更新路径上的流量的过程。

在传统的 FF 算法中，利用 dfs 每次找增广路的过程十分繁琐，常常会走冤枉路，此时更新增广路的复杂度就会增加，EK 算法为了规避这个问题使用了 bfs 来寻找增广路，然后在寻找增广路的时候总是向离汇点越来越近的方向去寻找下一个结点。

【基本思想】

1）若存在增广路径，则找出一条增广路径（通过 BFS）

2）沿着找出的增广路径进行更新流量

3）当没有增广路时，网络达到最大流

【沿增广路径增广方法】

第一步：计算可增加流量

设：某一增广路径结点为 a1,a2,...,an，可增加流的增加流量 dis=INF

若 (u,v) 是正向边，则：dis=min(dis,c(ai,aj)-f(ai,aj))，其中：j=i+1,i=1,2,...,n-1

若 (u,v) 是逆向边，则：dis=min(dis,f(ai,aj))，其中：j=i+1,i=1,2,...,n-1

第二步：更新流量

若 (u,v) 是正向边，则：f(u,v)=f(u,v)+dis

若 (u,v) 是负向边，则：f(u,v)=f(u,v)-dis（伴随着这部分流量的减去，必有另一部分的管道流量会增加）

【模版】

1.FF 算法

struct Edge {int to, next;int cap;
} edge[N * N];
int head[N], tot;
bool vis[N], flag;
LL res;
void addEdge(int x, int y, int cap) {edge[tot].to = y;edge[tot].cap = cap;edge[tot].next = head[x];head[x] = tot++;edge[tot].to = x;edge[tot].cap = 0;edge[tot].next = head[y];head[y] = tot++;
}
int dfs(int x, int T, int flow) { // dfs求任意路径if (x == T) {res += flow;flag = true;return flow;}vis[x] = true;for (int i = head[i]; i != -1; i = edge[i].next) {int x1 = edge[i].to;if (vis[x1] || edge[i].cap == 0)continue;int newFlow = dfs(x1, T, min(flow, edge[i].cap));if (flag) {edge[i].cap -= newFlow;edge[i ^ 1].cap += newFlow;return newFlow;}}return 0;
}
void FF(int S, int T) { //有增广路就增广flag = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(S, T, INF);while (flag) {flag = 0;memset(vis, 0, sizeof(vis));dfs(S, T, INF);}
}
int main() {memset(head, -1, sizeof(head));tot = 0;res = 0;int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, cap;scanf("%d%d%d", &x, &y, &cap);addEdge(x, y, cap);}int S = 1, T = n;FF(S, T);printf("%d\n", res);return 0;
}

2.EK 算法

int n, m;
int cap[N][N];  //容量
int flow[N][N]; //流量int EK(int s, int t) { //沿着增广路增广int res = 0;       //最大流int dis[N];        // a[i]表示从s到i的最小残量int p[N];          //增广路中的上一节点queue<int> Q;while (true) {memset(dis, 0, sizeof(dis));dis[s] = INF;Q.push(s);//计算可增加流量while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();for (int y = 1; y <= n; y++) {if (!dis[y] && cap[x][y] > flow[x][y]) {p[y] = x;Q.push(y);dis[y] = min(dis[x], cap[x][y] - flow[x][y]);}}}if (dis[t] == 0) //当网络中没有增广路径break;//更新流量for (int x = t; x != s; x = p[x]) {flow[p[x]][x] += dis[t];flow[x][p[x]] -= dis[t];}res += dis[t];}return res; //返回最大流
}int main() {int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);memset(cap, 0, sizeof(cap));memset(flow, 0, sizeof(flow));while (m--) {int x, y, w;scanf("%d%d%d", &x, &y, &w); //两点的容量cap[x][y] = +w;              //可能有重边}printf("%d\n", EK(1, n));return 0;
}

图论 —— 网络流 —— 最大流 —— FF 算法与 EK 算法相关推荐

图论 —— 网络流 —— 最大流 —— Dinic 算法
[概述] Dinic 算法在 EK 算法的基础上进行了优化,其时间复杂度为 O(n*n*m). Dinic 在找增广路的时也是找最短增广路, 但与 EK 算法不同的是 Dinic 算法并不是每次 bf ...
图论-网络流⑦-费用流解题
图论-网络流⑦-费用流解题上一篇:图论-网络流⑥-费用流下一篇:图论-网络流⑧-有上下界的网络流参考文献: https://www.luogu.com.cn/blog/user9012/solu ...
最大流算法之一——EK算法
EK算法流程 EK算法的流程很简单: 随意找一个可行流作为流量网络更新的基础(一般题目没有规定可以采用流量为0的可行流) 利用bfsbfsbfs找一条从源点到汇点的可行流路径用新找到的可行流路径更新 ...
图论 —— 网络流 —— 最大流 —— 压入与重标记算法
[概述] 压入与重标记算法(Push-Relable Algorithms)又称预留推进算法,是 GoldBerg 与 Tarjan 共同发现的,时间复杂度为 O(V*V*E) 该算法与 EK .Di ...
图论 —— 网络流 —— 费用流 —— MCMF 算法
[概述] EK 算法是每次用广搜寻找一条最短的增广路,然后沿其增广,而 MCMF 算法是在 EK 算法的基础上,每次用 SPFA 计算图的距离标号,然后沿着可行边进行增广,即将 EK 算法中的 bfs ...
图论 —— 网络流 —— 费用流 —— zkw 费用流
[概述] 求解费用流的方法很多,目前最流行的是 MCMF 费用流,其实质是将 EK 算法中的 bfs 换为了 SPFA 来计算最小费用,但其存在的一个缺点是 EK 是单路增广的,这样速度会相应的慢一些 ...
图论 —— 网络流 —— 费用流 —— 基于 Dijkstra 的费用流
[概述] 在求解费用流时,大多数情况都是使用基于 SPFA 的 MCMF 算法,但有时某些毒瘤题会卡 SPFA,此时就要利用基于 Dijkstra 的费用流来求解. [算法原理] 基于 Dijkstr ...
图论--网络流--最大流洛谷P4722（hlpp）
题目描述给定 nn 个点,mm 条有向边,给定每条边的容量,求从点 ss 到点 tt 的最大流. 输入格式第一行包含四个正整数nn.mm.ss.tt,用空格分隔,分别表示点的个数.有向边的个数.源 ...
Edmonds-Karp算法（EK算法）简单讲解及实现（邻接表）
目录最大流问题介绍图定义源点与汇点最大流问题描述 Ford-Fulkerson方法回退边与增广图伪代码图解 Edmonds-Karp算法复杂度代码实现细节代码最大流问题介绍图定 ...

图论 —— 网络流 —— 最大流 —— FF 算法与 EK 算法