【概述】

压入与重标记算法（Push-Relable Algorithms）又称预留推进算法，是 GoldBerg 与 Tarjan 共同发现的，时间复杂度为 O(V*V*E)

该算法与 EK 、Dinic 等增广路算法一样是用于求最大流的，不同于增广路算法检查整个残留网络来找出增广路径，该算法每次仅对一个顶点进行操作，并且检查残量网络中该点相邻的点。

【算法原理】

首先引入新名词的定义：

余流：对于一个顶点，依旧存储在该点中，尚未排除的流量，记作：excess(u)= f(V,v)>=0
活性点：对于一个不属于源点、汇点的任意点 v，若其容量有限且其余流大于 0，那么称该点为一活性点，且该点流量溢出
点的高度：每个点 i 被赋予了一个高度 height(i)，余流只能从高向下压入比他低的顶点
合法标记：对于图中的任意一条边 (u,v)，若满足 height(u)<=height(v)+1，那么具有一个合法标记，而仅当 height(u)=height(v)+1 时，才将流从 u 压入 v

假设每个顶点 u 存在无限大容量的水库，可以用来储存任意多的水，储存在该顶点的流量即为该点的余流

在开始时，令除 S、T 两点外的点的高度为 height(S)=|V|,height(T)=0 固定不变，其他点的高度 height(i) 初始化为 0，随着算法进行不断进行调整

令所有从源点 S 出来的边，达到饱和状态，成为饱和边，然后尽量使这个余流达到汇点 T，若是有一部分无法到达 T，那么将剩下的余流返回源点 S，当任意一点 u 的余流 excess(u)=0 时，算法停止，返回最大流

每个点与其关联的的点处于同一高度，当需要压入点 u 的流量时（Push(u) 操作），重标记点 u 的高度 height(u)（relabel(u) 操作），使得点 u 的余流流向高度小于他的点 v，直到存在一点的余流为 0

【实现】

int cap[N][N];  //容量网络
int flow[N][N]; //流量网络
int height[N];  //高度标记
int excess[N];  //余流
void push(int start, int end) {int newflow = min(excess[start], cap[start][end] - flow[start][end]);//改变当前流量flow[start][end] += newflow;flow[end][start] = -flow[start][end];//改变余流excess[start] -= newflow;excess[end] += newflow;
}bool reLabel(int S, int T, int index) { //重标记int minn = INF;                     //最小的高度for (int i = S; i <= T; i++)if (cap[index][i] - flow[index][i] > 0)minn = min(minn, height[i]);if (minn == INF)return false;height[index] = minn + 1; //满足height(u)=height(v)+1,标记下放for (int i = S; i <= T; i++) {if (excess[index] == 0) //余流为0，标记下放结束，返回truereturn true;if (height[i] == minn &&cap[index][i] > flow[index][i]) //处于同一高度，压入流量push(index, i);}return true;
}void pushReLabel(int S, int T) {//预处理余流for (int i = S; i <= T; i++) {if (cap[S][i] > 0) {int newflow = cap[S][i];flow[S][i] += newflow;flow[i][S] = -flow[S][i];excess[S] -= newflow;excess[i] += newflow;}}bool flag = true;while (true) {if (!flag)break;flag = false;for (int i = S; i <= T - 1; i++) {if (excess[i] > 0) { //当余流大于0时，继续重标记if (flag || reLabel(S, T, i))flag = true;}}}
}int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {memset(cap, 0, sizeof(cap));memset(flow, 0, sizeof(flow));memset(height, 0, sizeof(height));memset(excess, 0, sizeof(excess));int S = 1, T = n;height[S] = n;height[T] = 0;for (int i = 1; i <= m; ++i) {int x, y, w;scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);cap[x][y] = w;}pushReLabel(S, T);int res = excess[T]; //汇点的余流即最大流printf("%d\n", res);}return 0;
}

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