弗洛伊德算法（floyd）

算法背景：

图中的A,B,C,D,E,F,G,代表7个村庄，边上的权值带表两村庄之间的距离，现在要从某一个村庄，例如G村庄，往另外几个村庄送邮件，问任意一村庄到其他各村庄的最短距离分别是多少？

思路：

该问题实际是求从任一顶点到其余顶点的最短距离，即多源顶点间的距离。可以用弗洛伊德算法求解。

floyd算法求最短距离：

算法思路：

当计算i到j之间的最短距离时，利用一个过渡顶点k，先求出i和k之间的距离，再加上k和j之间的距离，对比得出最短距离（动态规划思想）。图中任意两顶点间都通过过渡顶点计算。

floyd算法需要维护两个二维数组：（i和j均为顶点数组的索引）

distance[i][j]: 保存第i个顶点和第j个顶点的最短距离。初始时为图的邻接数组值。
prePath[i][j]: 保存第i个顶点到第j个顶点的前驱结点值。

核心代码：

算法分析：

floyd算法中有三层for，最外层为过渡结点，中间层为顶点，最内层为终点，算法复杂度为O(n³)。对稠密图求解最佳，运行一次便可得出所有顶点间的关系。

public void floyd() {for(int k = 0; k < n;k++) {//记录中间结点的索引for(int i = 0; i < n;i++) {//记录开始结点的索引for(int j = 0; j < n;j++) {//记录结束结点的索引int len = distance[i][k] + distance[k][j];//“过渡距离”if(len < distance[i][j]) {distance[i][j] = len;prePath[i][j] = prePath[k][j];}}}}
}

java代码：

import java.util.*;public class Floyd {public static void main(String[] args) {int INF = 0x3f3f3f3f;char []vertex = {'A','B','C','D','E','F','G'};int [][]edge = new int [][] {{INF,5,7,INF,INF,INF,2},{5,INF,INF,9,INF,INF,3},{7,INF,INF,INF,8,INF,INF},{INF,9,INF,INF,INF,4,INF},{INF,INF,8,INF,INF,5,4},{INF,INF,INF,4,5,INF,6},{2,3,INF,INF,4,6,INF}};graph graph = new graph(vertex, edge);graph.floyd();graph.printMatrix();graph.getAllPath();}
}class graph{char vertex[];int distance[][];int prePath[][];int n;//图中顶点的数量public graph(char[] vertex, int[][] distance) {this.vertex = vertex;this.distance = distance;n = vertex.length;prePath = new int[n][n];for(int i = 0; i < n;i++) {Arrays.fill(prePath[i], i);}}public void printMatrix() {System.out.println("各顶点间的最短距离为：");for(int i = 0; i < n;i++) {for(int j = 0; j < n; j++) {System.out.printf("(%c->%c:%d)  ",vertex[i],vertex[j],distance[i][j]);}System.out.println();}}public void floyd() {for(int k = 0; k < n;k++) {//记录中间结点的索引for(int i = 0; i < n;i++) {//记录开始结点的索引for(int j = 0; j < n;j++) {//记录结束结点的索引int len = distance[i][k] + distance[k][j];//“过渡距离”if(len < distance[i][j]) {distance[i][j] = len;prePath[i][j] = prePath[k][j];}}}}}private void getPath(int start,int end) {//start为路径起点，end为终点int []temp = new int[n];int index = 0;int t = end;while(true) {if(t == start || start == t)break;temp[index++] = t;t = prePath[start][t];}temp[index] = start;System.out.printf("顶点%c到顶点%c的最短路径为：",vertex[start],vertex[end]);for(int i = index; i >= 0;i--) {System.out.printf("%c ",vertex[temp[i]]);}System.out.println();}public void getAllPath() {System.out.println("\n所有顶点间最短路径如下：");for(int i = 0; i < n;i++) {for(int j = 0; j < n;j++) {if(i == j)continue;getPath(i, j);}System.out.println();}}
}

运行输出：

各顶点间的最短距离为：
(A->A:4)  (A->B:5)  (A->C:7)  (A->D:12)  (A->E:6)  (A->F:8)  (A->G:2)
(B->A:5)  (B->B:6)  (B->C:12)  (B->D:9)  (B->E:7)  (B->F:9)  (B->G:3)
(C->A:7)  (C->B:12)  (C->C:14)  (C->D:17)  (C->E:8)  (C->F:13)  (C->G:9)
(D->A:12)  (D->B:9)  (D->C:17)  (D->D:8)  (D->E:9)  (D->F:4)  (D->G:10)
(E->A:6)  (E->B:7)  (E->C:8)  (E->D:9)  (E->E:8)  (E->F:5)  (E->G:4)
(F->A:8)  (F->B:9)  (F->C:13)  (F->D:4)  (F->E:5)  (F->F:8)  (F->G:6)
(G->A:2)  (G->B:3)  (G->C:9)  (G->D:10)  (G->E:4)  (G->F:6)  (G->G:4)  所有顶点间最短路径如下：
顶点A到顶点B的最短路径为：A B
顶点A到顶点C的最短路径为：A C
顶点A到顶点D的最短路径为：A G F D
顶点A到顶点E的最短路径为：A G E
顶点A到顶点F的最短路径为：A G F
顶点A到顶点G的最短路径为：A G 顶点B到顶点A的最短路径为：B A
顶点B到顶点C的最短路径为：B A C
顶点B到顶点D的最短路径为：B D
顶点B到顶点E的最短路径为：B G E
顶点B到顶点F的最短路径为：B G F
顶点B到顶点G的最短路径为：B G 顶点C到顶点A的最短路径为：C A
顶点C到顶点B的最短路径为：C A B
顶点C到顶点D的最短路径为：C E F D
顶点C到顶点E的最短路径为：C E
顶点C到顶点F的最短路径为：C E F
顶点C到顶点G的最短路径为：C A G 顶点D到顶点A的最短路径为：D F G A
顶点D到顶点B的最短路径为：D B
顶点D到顶点C的最短路径为：D F E C
顶点D到顶点E的最短路径为：D F E
顶点D到顶点F的最短路径为：D F
顶点D到顶点G的最短路径为：D F G 顶点E到顶点A的最短路径为：E G A
顶点E到顶点B的最短路径为：E G B
顶点E到顶点C的最短路径为：E C
顶点E到顶点D的最短路径为：E F D
顶点E到顶点F的最短路径为：E F
顶点E到顶点G的最短路径为：E G 顶点F到顶点A的最短路径为：F G A
顶点F到顶点B的最短路径为：F G B
顶点F到顶点C的最短路径为：F E C
顶点F到顶点D的最短路径为：F D
顶点F到顶点E的最短路径为：F E
顶点F到顶点G的最短路径为：F G 顶点G到顶点A的最短路径为：G A
顶点G到顶点B的最短路径为：G B
顶点G到顶点C的最短路径为：G A C
顶点G到顶点D的最短路径为：G F D
顶点G到顶点E的最短路径为：G E
顶点G到顶点F的最短路径为：G F

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