费马小定理及MR素数判断

2024-05-30 10:02:43

许多部分材料取自百度百科

费马小定理及MR素数判断

费马小定理

内容

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。

证明

先证两个引理：
①：若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m)
（这个很显然吧。。。）

②：设m是一个整数,且m>1,b是一个整数且(m,b)=1.如果a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]是模m的一个完全剩余系,则ba[1],ba[2],ba[3],ba[4],…ba[m]也构成模m的一个完全剩余系.

证明：若存在ba[i]、ba[j]使得bai≡baj(mod m)ba_i\equiv ba_j(mod\ m)，则ai≡aj(mod m)a_i\equiv a_j(mod\ m)。然而根据完全剩余系的定义可知这并不存在。

然后再来证明费马小定理：
构造P的完全剩余系：{1,2,3…,p−1}\{1,2,3\dots ,p-1\}

因为(a,p)=1(a,p)=1，根据引理②可得{a,2a,3a…,n}\{a,2a,3a\dots,n\}也是P的完全剩余系。

由完全剩余系的性质可得：

(p−1)!≡(p−1)!ap−1(mod p)(p-1)!\equiv(p-1)!a^{p-1}(mod\ p)

两边同时除以(p−1)!(p-1)!，得ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)

证毕。

应用

费马小定理是逆元的求解方法之一。还可以快速计算形如ab≡c (mod p)a^b\equiv c\ (mod\ p)这样的东西（当然p要是质数）
还有就是MR素数判断

MR素数判断

一般的素数判断用的是筛法。但是当素数比较大时，可能就无能为力了（判单个数最快是n√\sqrt{n}）这时我们就可以考虑MR素数判断。
全名：Miller-Rabin素数测试，利用费马小定理判断一个数是否是质数。

当p为素数时，ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv1(mod\ p)，而当p不为素数时，上式有很大概率不成立。于是我们可以多取几个aa来快速判断pp是否为质数。

但是有这么一种合数，对于任意(a,p)=1(a,p)=1，ap−1≡1(mod p)a^{p-1}\equiv 1(mod\ p)都成立。这种数叫做卡迈克尔数。当然，这种数是很少的，在1~100000000范围内的整数中，只有255个卡迈克尔数。

而为了防止这种情况出现，有一种东西，叫二次探测定理：

如果p是素数，且x2≡1(mod p)x^2\equiv1(mod\ p)，那么x=1x=1或x=p−1x=p-1
这个很显然。x2≡1(mod p)x^2\equiv1(mod\ p)，则p∣(x2−1)p\mid (x^2-1)，即p∣(x−1)(x+1)p\mid (x-1)(x+1)。
由于p是素数，那么只有可能p∣(x−1)p\mid(x-1)（此时x=1）或p∣(x+1)p\mid (x+1)（此时x=p-1）。

于是我们只需要每次把幂/2，再不断算就行了。

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