高阶导数的运算法则 与 莱布尼茨公式
多个函数的线性组合的运算法则：
\forall m, n \in \mathbb N, m, n \ge 1, [\sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i(x)]^{(n)} = \sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i ^{(n)}(x)
证明
n=1n = 1 时显然成立。
设 nn 时成立。则 n+1n + 1 时：
[\sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i(x)]^{(n + 1)} = \{ [\sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i(x)]^{(n)} \}'
= [\sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i ^{(n)}(x)]'
= \sum _{i = 1} ^{m} c_i f_i ^{(n + 1)}(x)
莱布尼茨公式
[f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} = \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)
证明
n=1n = 1 时显然成立。
设 nn 时成立。则 n+1n + 1 时：
[f(x) \cdot g(x)] ^{(n + 1)} = \{ [f(x) \cdot g(x)] ^{(n)} \} '
= [\sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)]'
= \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} [f ^{(k)} (x) g^{(n - k)} (x)]'
= \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} [f ^{(k + 1)} (x) g^{(n - k)} (x) + f ^{(k)} (x) g^{(n + 1 - k)} (x)]
= \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k + 1)} (x) g^{(n - k)} (x) + \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n + 1 - k)} (x)
= \sum _{k = 1} ^{n + 1} C _{n} ^{k - 1} f ^{(k)} (x) g ^{(n + 1 - k)} (x) + \sum _{k = 0} ^{n} C _{n} ^{k} f ^{(k)} (x) g^{(n + 1 - k)} (x)
= f^{(n + 1)}(x)g(x) + \sum _{k = 1} ^{n } (C _{n} ^{k - 1} + C _{n} ^{k}) f ^{(k)} (x) g ^{(n + 1 - k)} (x) + f(x)g ^{(n + 1)}(x)
= f^{(n + 1)}(x)g(x) + \sum _{k = 1} ^{n } C _{n + 1} ^{k} f ^{(k)} (x) g ^{(n + 1 - k)} (x) + f(x)g ^{(n + 1)}(x)
= \sum _{k = 0} ^{n + 1 } C _{n + 1} ^{k} f ^{(k)} (x) g ^{(n + 1 - k)} (x)
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