梳状函数

常用函数 矩形函数 Sinc函数 阶跃函数 符号函数 三角形函数 高斯函数 圆域函数 δ函数 梳状函数 应用：单缝或矩形孔的夫琅和费衍射的振幅分布 3 阶跃函数 定义： 阶跃函数应用: 4 符号函数 定义： 应用：与某函数相乘，可使该函数在某点的正负发生反转。 相位突变。 5 三角函数tri(x)或Λ(x)。 定义： 应用：矩形光瞳的非相干成像系统光学传递函数。 6 高斯函数 定义： 二维高斯函数的形式 7 圆域函数应用 应用：描述圆孔的透过率、二维的门函数. 8 ? 函数 定义： 空间δ函数 二维δ函数 物理意义： δ函数性质 筛选性质 可分离变量性质 坐标缩放性质 与普通函数乘积性质 卷积性质 1) 筛选特性： 对任一连续函数? (x), 有： 3 ) 坐标缩放： 推论： 偶函数 4) 乘积特性 5) 卷积性质 9 梳状函数(comb function)定义： 推论： 当x?x0, 由于? (x?x0)=0, 所以等式成立。 当x=x0, f (x)=f (x0), 等式显然成立。 1)任一函数与?函数卷积运算的结果只是将该函数在坐标上平移x0, y0，函数值分布不变，曲线形状不变。 2)任一函数与?函数的(k, l)次微分的卷积是该函数经过在坐标上平移x0, y0后的微分。 * 各个梳之间等间距； * 每个梳具有? 函数性质。 T ? 二维梳状函数的图形是什么？试说明。 * * 1．矩形函数—一维 ——又称门函数，记为rect(x)或Π(x) 其定义如下： 图1 矩形函数 由图形可以看出，矩形函数曲线下面积为1，即： 矩形函数的一般定义为 函数图像如下图所示 0 1 1．矩形函数—一维 矩形函数——二维定义式为： 图11 在光学问题中，常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。 二维矩形函数的一般表达式为： 它表示中心位于(x0，y0)，边长为a×b的均匀照明矩形孔的振幅透射系数。 ————可分离变量函数 光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起到截取函数的作用，故又称为门函数。 如 表示一个只出现在区间 应用： 单缝透过率、门函数、时间脉冲波形. x0 a x 0 y 2 sinc函数 一维 sinc函数的定义为 式中a>0,函数在x=x0处有最大值1。 对于x0=0,该函数在原点处有最大值1.二个第一级零值之间的宽度为2a,函数图像如图所示。 零点位于 二 维 sinc函数的定义为 注意归一化和非归一化的两种表达方法。 强度分布为sinc函数平方 标准型： T x 光学直边或刀口的透过率 0 x/a Sgn(x/a) 标准型： -a a 1 O x ? 注意：函数形状非真三角形。 标准型： * 二维三角形函数 标准形式的二维三角形函数的定义为： 图 特点： 1)函数分布在整个区域连续、可导。 2)光滑、中心强边缘弱。 3)其傅里叶变换还是高斯函数。 a>0.当x0=0时，函数在原点处有最大值1。 高斯图形中曲线下的面积为a. 式中 曲面下的体积为ab 应用： 1)是激光的常见模式：基膜高斯分布。 2)光信息处理中的“切趾术”，实质：软边光栏。 T r 7 圆域函数 圆域函数的定义为 函数图形呈圆柱形，底半径为a，高度为1。 极坐标下的形式为 x 0 δ(x) δ(x+a) δ(x-a) a -a x y z δ(x,y) 0 x 0 δ(x) δ(x+a) δ(x-a) a -a 描述脉冲状态这样一类物理量，δ函数表示某种极限状态，可用于描述高度集中的物理量，如：点电荷、点光源、瞬间光电脉冲等，又称脉冲函数。 焦点处光能描述 点电荷处电场描述 ?函数的函数序列定义式： 函数序列表达式的意义是在实际操作中可以将? 函数具体化，便于处理。 ? /A还是? 函数！ 贝塞尔函数 圆域函数 Sinc函数 高斯函数 矩形函数 二维 一维 函 数 几种表示? 函数的函数序列及其极限形式 物理意义：所有的有限函数都可以分解成? 函数的线性组合, 很有现实意义。 应用：信息处理中函数取点。 2) 可分离变量特性： 直角坐标系里，有 极坐标系里，有 什么是可分离变量？ 这里 同时 ？