数列极限：重要极限 π 与 e

重要极限：π

圆周率，为圆周长与直径之比，记作 π\piπ 。

通常，用单位圆（半径为 111 的圆）的内接正 nnn 边形的半周长 LnL_nLn 近似。

设圆 OOO 的半径为 r=1r=1r=1，圆内接正 nnn 边形的半周长为 LnL_nLn。则
Ln=12⋅[2n⋅sin⁡(12⋅360°n)]=nsin⁡180°nL_n = \frac{1}{2}\cdot \left[2n \cdot \sin{\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{360 \degree}{n}\right)} \right] = n \sin\frac{180 \degree}{n} Ln=21⋅[2n⋅sin(21⋅n360°)]=nsinn180°

设圆内接正 nnn 边形的面积为 SnS_nSn，则

Sn=nsin⁡180°n⋅cos⁡180°nS_n = n \sin\frac{180 \degree}{n} \cdot \cos \frac{180 \degree}{n} Sn=nsinn180°⋅cosn180°

而单位圆 OOO 的面积明显小于其圆外接正方形的面积。因此有：

Sn=nsin⁡180°n⋅cos⁡180°n<4S_n = n \sin\frac{180 \degree}{n} \cdot \cos \frac{180 \degree}{n} <4 Sn=nsinn180°⋅cosn180°<4

进而有：

Ln=nsin⁡180°n<4cos⁡180°n≤4cos⁡60°n=8,(n≥3)L_n = n \sin\frac{180 \degree}{n} <\frac{4}{\cos \frac{180 \degree}{n}} \le \frac{4}{\cos \frac{60 \degree}{n}} =8 ,\quad (n \ge 3) Ln=nsinn180°<cosn180°4≤cosn60°4=8,(n≥3)

LnL_nLn 明显是大于 000 的，因此，数列 {Ln}\{L_n\}{Ln} 有界。

下面，利用 单调有界数列收敛定理 证明数列 {xn}\{x_n\}{xn} 收敛。

证明：

设 t=180°n(n+1)t = \frac{180 \degree}{n(n+1)}t=n(n+1)180°，则当 n≥3n \ge 3n≥3 时，显然有 nt≤45°nt \le 45 \degreent≤45°。

然后，考虑 nt≤45°nt \le 45 \degreent≤45° 时有什么特殊情况。

tan⁡180°n+1=tan⁡nt=tan⁡((n−1)t+t)=tan⁡(n−1)t+tan⁡t1−tan⁡(n−1)t⋅tan⁡t≥tan⁡(n−1)t+tan⁡t\begin{aligned} \tan {\frac{180 \degree}{n+1}} &= \tan {nt} =\tan ((n-1)t+t) \\ &=\frac{\tan {(n-1)t}+\tan t}{1-\tan (n-1)t \cdot \tan t} \\ &\ge \tan {(n-1)t}+\tan t \end{aligned} tann+1180°=tannt=tan((n−1)t+t)=1−tan(n−1)t⋅tanttan(n−1)t+tant≥tan(n−1)t+tant

于是，递归地，又有：

tan⁡(n−1)t≥tan⁡(n−2)t+tan⁡t\tan (n-1)t \ge \tan (n-2)t + \tan t tan(n−1)t≥tan(n−2)t+tant

继续下去，有

tan⁡nt≥ntan⁡t\tan nt \ge n \tan t tannt≥ntant

因此，有

sin⁡(n+1)t=sin⁡ntcos⁡t+cos⁡ntsin⁡t=sin⁡ntcos⁡t(1+cos⁡ntsin⁡tsin⁡ntcos⁡t)=sin⁡ntcos⁡t(1+tan⁡ttan⁡nt)≤sin⁡ntcos⁡t(1+1n)<n+1nsin⁡nt\begin{aligned} \sin (n+1)t &= \sin nt \cos t + \cos nt \sin t \\ &= \sin nt \cos t \left( 1+ \frac{\cos nt \sin t}{\sin nt \cos t}\right) \\ &= \sin nt \cos t \left( 1+ \frac{\tan t}{\tan nt}\right) \\ &\le \sin nt \cos t \left( 1+\frac{1}{n}\right) \\ & <\frac{n+1}{n} \sin nt \end{aligned} sin(n+1)t=sinntcost+cosntsint=sinntcost(1+sinntcostcosntsint)=sinntcost(1+tannttant)≤sinntcost(1+n1)<nn+1sinnt

也就是说，当 n≥3n \ge 3n≥3 时，有：

nsin⁡(n+1)t<(n+1)sin⁡ntn \sin (n+1)t < (n+1) \sin nt nsin(n+1)t<(n+1)sinnt

将 t=180°n(n+1)t =\frac{180 \degree}{n(n+1)}t=n(n+1)180° 带入，即有

Ln=nsin⁡180°n<(n+1)sin⁡180°n+1=Ln+1L_n=n \sin {\frac{180 \degree}{n}} < (n+1) \sin {\frac{180\degree}{n+1}}=L_{n+1} Ln=nsinn180°<(n+1)sinn+1180°=Ln+1

虽然，n=1,2n=1,2n=1,2 时，没有实际的几何意义，但计算其数值后，明显有：
L1≤L2≤L3<⋯L_1 \le L_2 \le L_3 <\cdots L1≤L2≤L3<⋯

也就是说，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 为递增数列。

由单调有界数列收敛原理，数列 {Ln}\{L_n\}{Ln} 收敛。

重要极限：e

数学中的常量 eee 可使用数列 {(1+1n)n}\{(1+\frac{1}{n})^{n}\}{(1+n1)n} 进行定义。

设数列 xn=(1+1n)nx_n = (1+\frac{1}{n})^nxn=(1+n1)n，yn=(1+1n)n+1y_n = (1+\frac{1}{n})^{n+1}yn=(1+n1)n+1。

由 平均值不等式 ：
a1+a2+⋯+ann≥a1a2⋯ann,ak>0,k=1,2,3,⋯,n\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n},\quad a_k>0,k=1,2,3,\cdots,n na1+a2+⋯+an≥na1a2⋯an,ak>0,k=1,2,3,⋯,n
有：
(a1+a2+⋯+ann)n≥a1a2⋯an,ak>0,k=1,2,3,⋯,n\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^{n} \ge a_1a_2\cdots a_n,\quad a_k>0,k=1,2,3,\cdots,n (na1+a2+⋯+an)n≥a1a2⋯an,ak>0,k=1,2,3,⋯,n

因此有：
xn=(1+1n)n=(1+1n)n⋅1≤(n(1+1n)+1n+1)n+1=(1+1n+1)n+1=xn+1x_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \cdot 1 \le \left(\frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}\right)^{n+1} =\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = x_{n+1} xn=(1+n1)n=(1+n1)n⋅1≤(n+1n(1+n1)+1)n+1=(1+n+11)n+1=xn+1

即：xn≤xn+1x_n \le x_{n+1}xn≤xn+1，数列 {xn}\{x_n\}{xn} 为递增数列。

1yn=(nn+1)n+1=(nn+1)n+1⋅1≤((n+1)nn+1+1n+2)n+2=(n+1n+2)n+2=1yn+1\frac{1}{y_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1} \cdot 1 \le \left(\frac{(n+1)\frac{n}{n+1}+1}{n+2}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}=\frac{1}{y_{n+1}} yn1=(n+1n)n+1=(n+1n)n+1⋅1≤(n+2(n+1)n+1n+1)n+2=(n+2n+1)n+2=yn+11
即：yn≥yn+1y_n \ge y_{n+1}yn≥yn+1，数列 {yn}\{y_n\}{yn} 为递减数列。

显然，
2=x1≤xn<yn≤y1=42=x_1 \le x_n<y_n \le y_1=4 2=x1≤xn<yn≤y1=4
因此数列 {xn}\{x_n\}{xn} 与 {yn}\{y_n\}{yn} 均收敛。

设 lim⁡n→∞xn=a\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=an→∞limxn=a，而 lim⁡n→∞ynxn=lim⁡n→∞(1+1n)=1\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\frac{y_n}{x_n}=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}(1+\frac{1}{n})=1n→∞limxnyn=n→∞lim(1+n1)=1，因此：
lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn。\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}x_n=\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}y_n \text{。} n→∞limxn=n→∞limyn。

在数学中，通常用 eee 代表这个极限，即：
lim⁡n→∞(1+1n)n=lim⁡n→∞(1+1n)n+1=e。\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} =\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}= e \text{。} n→∞lim(1+n1)n=n→∞lim(1+n1)n+1=e。

此外，我们有：
lim⁡n→∞(1−1n)n=1e。\underset{n \rightarrow \infty}{\lim}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}\text{。} n→∞lim(1−n1)n=e1。

参考文献

[1] 陈纪修，于崇华，金路著. 数学分析上册. 第2版. 北京：高等教育出版社, 2004.06.