1.1哈恩巴纳赫定理

内容：

假设：

(i). LLL表示实线性空间XXX的线性子空间。
(i). p:X→Rp:X\rightarrow \mathbb{R}p:X→R是一个子线性函数，也就是说，对于所有的u,v∈Xu,v\in Xu,v∈X以及所有的α≥0\alpha \ge 0α≥0, 有
p(u+v)≤p(u)+p(v),andp(αu)=αp(u)p(u+v)\le p(u)+p(v),\;and\; p(\alpha u)=\alpha p(u)p(u+v)≤p(u)+p(v),andp(αu)=αp(u)
(iii). F:L→RF:L\rightarrow \mathbb{R}F:L→R是一个线性函数，满足：
∀u∈L,F(u)≤p(u)\forall u\in L, F(u)\le p(u)∀u∈L,F(u)≤p(u)

有， FFF可以拓展为线性函数f:X→Rf:X\rightarrow \mathbb{R}f:X→R, 因此：
∀u∈X,f(u)≤p(u)\forall u\in X, f(u)\le p(u)∀u∈X,f(u)≤p(u)

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