引言

\quad\quad最近接触了泛函的变分的概念，回头再想变分不等式，怎么也想不明白变分不等式是如何 “变分” 的，所以重新一起看了下两者，整理在此，以便理解清晰。
\quad\quad 首先来看泛函的变分。为了解释清晰，先根据自我理解介绍下泛函的概念。

泛函

泛函定义

对于某一类函数集合{x(t)}\{x(t)\}{x(t)} 中的每一个函数 x(t)x(t)x(t), 在映射关系 JJJ 下均有一个确定的数与之对应，则称 JJJ 为依赖于函数 x(t)x(t)x(t) 的泛函，记作J=J[x(.)]=J[x(t)]J=J[x(.)]=J[x(t)]J=J[x(.)]=J[x(t)]
注：泛函与函数的区别

泛函即为以函数为自变量的一种映射到实数域的映射关系。而函数则是以某一实数为自变量映射到实数域的映射关系。这里的J[x(t)]J[x(t)]J[x(t)]可理解为整条曲线 x(t)x(t)x(t) 在映射关系 JJJ 下对应一个实数值。下面来解释一下泛函的自变量，如下图：

假设从[0,1]位置我们丢掷一个物体，该物体分别沿 f(x)f(x)f(x), h(x)h(x)h(x), g(x)g(x)g(x) 三条轨道下落，同样都可降落至 [1,0]。那么我们可以将这个下落的过程称为一个泛函，三条下落的轨道曲线称为这个泛函的自变量，即泛函定义中的函数集合为 {f(x),h(x),g(x)}\{f(x),h(x),g(x)\}{f(x),h(x),g(x)}，这个物体的高度位置即为映射关系 JJJ，确定的数为高度0。

泛函的变分

类似于函数中的自变量的含义，在泛函中定义域函数集合中的函数也有其自身的名称，即为宗量。

宗量：若函数 x(t)x(t)x(t) 是映射关系 JJJ 的自变量函数，则称 x(t)x(t)x(t) 为泛函 J[x(t)]J[x(t)]J[x(t)] 的宗量函数。如上图的 f(x)f(x)f(x), h(x)h(x)h(x), g(x)g(x)g(x) 都成为宗量函数。

同样类似于函数中两个自变量的差对应于泛函中为宗量的变分

宗量的变分：宗量的变分是指在同一函数类中的两个宗量函数间的差，即：δx(t)=x(t)−x∗(t).\delta x(t)=x(t)-x^*(t).δx(t)=x(t)−x∗(t).

类似于函数取值的差在泛函关系中用泛函增量来表示，比如上图中物体的高度在某一时刻使用不同轨道的差值。

泛函的增量（）
由自变量函数 x(t)x(t)x(t) 的变分 δx(t)\delta x(t)δx(t) 引起泛函 J[x(t)]J[x(t)]J[x(t)] 的增量 ΔJ=J[x(t)]−J[x∗(t)]=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x∗(t)]\Delta J=J[ x(t)]-J[x^*(t)]=J[x^*(t)+\delta x(t)]-J[x^*(t)]ΔJ=J[x(t)]−J[x∗(t)]=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x∗(t)] 为泛函 J[x(t)]J[x(t)]J[x(t)] 的增量。
即假设这里的x(t)x(t)x(t) 为上图中的轨道 f(x)f(x)f(x), 这里的增量即可解释为使用轨道 f(x)f(x)f(x) 相较于使用轨道 h(x)h(x)h(x), g(x)g(x)g(x) 的物体的高度的差值。

继而，类似于函数导数的概念，在泛函中有泛函的变分的概念，即：

泛函的变分
当宗量函数 x(t)x(t)x(t) 有变分时，泛函 J[x(t)]J[x(t)]J[x(t)] 的增量 ΔJ[x(t)]\Delta J[x(t)]ΔJ[x(t)] 可表示为ΔJ=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x(t)]=dJdx∣x∗δx+12d2Jdx2∣x∗(δx)2+R,\Delta J=J[x^*(t)+\delta x(t)]-J[x(t)]=\frac{dJ}{dx}|_{x^*}\delta x+\frac{1}{2}\frac{d^2J}{dx^2}|_{x^*}(\delta x)^2+R,ΔJ=J[x∗(t)+δx(t)]−J[x(t)]=dxdJ∣x∗δx+21dx2d2J∣x∗(δx)2+R, 其中ΔJ\Delta JΔJ 的线性部分称为泛函的变分，记作 δJ\delta JδJ，即 δJ=dJdx∣x∗δx，\delta J=\frac{dJ}{dx}|_{x^*}\delta x，δJ=dxdJ∣x∗δx，换句话说, 泛函的变分是泛函增量的线性主部。

Lemma 1: 泛函的变分 δJ=∂∂αJ[x(t)+αδx(t)]∣α=0\delta J=\frac{\partial}{\partial \alpha}J[x(t)+\alpha \delta x(t)]|_{\alpha=0}δJ=∂α∂J[x(t)+αδx(t)]∣α=0

Example 1: 计算泛函 J=∫01x2(t)dtJ=\displaystyle \int_0^1x^2(t)dtJ=∫01x2(t)dt 的变分。
δJ=∂∂αJ[x(t)+αδx(t)]∣α=0=∂∂α∫01[x(t)+αδx(t)]2dt∣α=0=∫012[x(t)+αδx(t)]δx(t)dt∣α=0=∫012x(t)δx(t)dt\begin{aligned} \delta J&=\frac{\partial}{\partial \alpha}J[x(t)+\alpha\delta x(t)]|_{\alpha=0}\\ &=\frac{\partial}{\partial \alpha}\displaystyle\int_0^1[x(t)+\alpha\delta x(t)]^2dt|_{\alpha=0}\\ &=\displaystyle\int_0^12[x(t)+\alpha \delta x(t)]\delta x(t)dt|_{\alpha=0}\\ &=\displaystyle\int_0^12x(t)\delta x(t)dt \end{aligned}δJ=∂α∂J[x(t)+αδx(t)]∣α=0=∂α∂∫01[x(t)+αδx(t)]2dt∣α=0=∫012[x(t)+αδx(t)]δx(t)dt∣α=0=∫012x(t)δx(t)dt

变分不等式

首先来看一下什么叫做变分不等式。

变分不等式定义

变分不等式(variational inequality) VI(F,X)VI(F,X)VI(F,X)的正式数学定义为：

任给定义在巴纳赫空间（内积空间）Ω\OmegaΩ 的一个子集 XXX 上的泛函 F:X→Ω∗F: X\to \Omega^*F:X→Ω∗, 其中 Ω∗\Omega^*Ω∗ 是 Ω\OmegaΩ 的对偶空间（对偶空间的解释参阅参考文献2）则VI(F,X)VI(F,X)VI(F,X) 等价于寻找一个 x∈Xx\in Xx∈X，使得
⟨F(x),y−x⟩≥0\langle F(x),y-x\rangle\geq0⟨F(x),y−x⟩≥0对于任意的 y∈Xy\in Xy∈X成立。
在最优化方面的定义：
给定 RnR^nRn 的一个子集(闭凸集) KKK以及映射 F:K→RnF: K\to R^nF:K→Rn，变分不等式问题 VI(K,F)VI(K,F)VI(K,F) 即为寻求一个x∗∈Kx^*\in Kx∗∈K 使得
(x−x∗)TF(x∗)≥0(x-x^*)^TF(x^*)\geq 0(x−x∗)TF(x∗)≥0
对任意的 x∈Kx\in Kx∈K 成立。

变分不等式几何性解释

若可行点 x∗x^*x∗ 为变分不等式问题 VI(F,X)VI(F,X)VI(F,X) 的一个解，则映射 FFF 在 x∗x^*x∗ 点处与所有可行方向 x−x∗x-x^*x−x∗, ∀x∈K\forall x\in K∀x∈K 之间的夹角为锐角（acute angle）

问题：还是没搞懂变分不等式的变分与泛函的变分之间的关系。变分不等式variational inequality中variational是否可解释为可变的，即可变的不等式。
自我理解：求泛函的极大值和极小值问题称为变分问题，求泛函极值的方法称为变分法。当不等式的等号成立的时候取得极值，因变分不等式与泛函的极值有关故而称为变分不等式。该命名是从变分法的定义来看的。

参考文献

【优化】浅谈变分不等式与凸优化
怎么形象地理解对偶空间
变分不等式讲义

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