Lattice and Boolean Algebra

Boolen Algreba

Atom

Theorem: <⁣B,∧,∨,′,0,1⁣><\!B, ∧, ∨, ', 0, 1\!><B,∧,∨,′,0,1> is a finite Boolean algebra, for any non-zero element x∈B,a1,a2,⋯,akx∈B, a_1,a_2, \cdots,a_kx∈B,a1,a2,⋯,ak are all atoms such that ai≤x(i=1,2,⋯k)a_i ≤x(i=1,2,\cdots k)ai≤x(i=1,2,⋯k), then x=a1∨a2∨⋯∨akx = a_1∨a_2∨\cdots ∨a_kx=a1∨a2∨⋯∨ak.

Theorem: <B,∧,∨,′,0,1><B, ∧, ∨, ', 0, 1><B,∧,∨,′,0,1> is a finite Boolean algebra, S is the set of all atoms, then <B,∧,∨,′,0,1>< B, ∧, ∨, ', 0, 1 ><B,∧,∨,′,0,1> is isomorphic to <⁣P(S),∩,∪,¬,Ø,S⁣><\!P(S), \cap, \cup, \neg, Ø, S\!><P(S),∩,∪,¬,Ø,S>.

Proof idea: Bijection f:B→P(S)f: B→ P(S)f:B→P(S)
f(x)={a∣a∈S∧a≤x}f(x) = \{a|a∈S∧a≤x\}f(x)={a∣a∈S∧a≤x}

Corollary
(1) <⁣B,∧,∨,′,0,1⁣><\!B, ∧, ∨, ', 0, 1\!><B,∧,∨,′,0,1> and <⁣P(S),∩,∪,¬,Ø,S⁣><\!P(S), ∩, ∪, \neg, Ø, S\!><P(S),∩,∪,¬,Ø,S> are isomorphic, ∣P(S)∣=2∣s∣|P(S)|=2^{|s|}∣P(S)∣=2∣s∣, so ∣B∣=2∣s∣|B|=2^{|s|}∣B∣=2∣s∣.
(2) Every two finite Boolean algebras which have the same cardinality are isomorphic.

Summary

Lattice: definition, properties
Lattice another definition from the perspective of algebraic system
Sub-lattice
Homomorphism
Distributive, bounded, complement
Boolean Algebra

Review

题型

选择、填空、计算、证明

命题逻辑

命题等
连接词
真值表
重言式、矛盾式、可满足式
等值式与等值运算
析取范式与合取范式
可满足问题

谓词逻辑

谓词、个体词、量词
量词等等
一阶逻辑命题符号化
逻辑有效式，可满足式等
谓词逻辑等值式
前束范式

逻辑证明

有效论证_{（命题逻辑需给出有效论证，谓词逻辑不要求考察）}
命题逻辑推理规则
谓词逻辑
证明方法

Pro Tip:

判断哪些是命题

命题的符号化

判断真假（重言式与否）

转化为析取范式、合取范式

判断推理是否正确

集合代数

集合的表示法
集合与元素的隶属关系，集合集合间的包含关系
幂集
有序 nnn 元组、序偶（有序二元组）、笛卡尔积
集合运算
有穷集合运算、容斥原理
集合恒等式

函数

函数
单射、满射、双射
运算
集合函数

关系

序偶与笛卡尔积、二元关系、从 AAA 到 BBB 的关系
关系的性质
关系的运算
关系的表示法
自反、对称、传递闭包
等价关系、等价类、商集与 AAA 的划分
偏序关系、偏序集、Hasse 图、极大极小元、最大最小元、上下界、上下确界、格

Pro Tip:

证明两个集合相等（方法：互为子集）

关系是否具有某种性质

等价关系及其证明（方法：那三个性质）

偏序关系及其证明（方法：那三个性质）

Hasse 图的绘制

求出极大极小元、最大最小元、上下界、上下确界

图的基本概念

无向图、有向图、简单图、相邻与关联、度
握手定理与推论
特殊的图：完全图 KnK_nKn、二部图及完全二部图 Km,nK_{m,n}Km,n
子图、补图
图的矩阵表示
图的同构
图的连通性：路径、回路、无向图的连通性与连通度、有向图的连通性等

欧拉图与哈密顿图

定义、充要条件_{（一定要掌握）}
必要条件、充分条件
最短路径问题、旅行家问题

平面图

基本概念：平面图、平面嵌入、面、面的度、极大平面图、极小非平面图
欧拉公式（v−e+r=2v-e+r=2v−e+r=2）
平面图的判断：库拉图斯基定理（K5K_5K5_{(最短回路是3)}, K3,3K_{3,3}K3,3_{(最短回路是4)}）

树

无向树：树的6个等价命题（m=n−1m=n-1m=n−1）
根树
生成树

代数系统

二元运算_{（唯一性、封闭性）}、一元运算
运算性质和特异元素：XX律、X元
代数系统的构成：非空集合、二元和一元运算、代数常数
同类型的代数系统
子代数、积代数
同态、同构_（双射）

群论

半群、独异点与群的定义
群同态
基本性质
子群定义及判定
陪集定义及性质
拉格朗日定理及性质

Pro Tip:

群定义、子群判定

格与布尔代数

格的两个等价定义
格的性质_{（交换、结合、吸收）}
子格
格同态
特殊格：分配格、有界格、有补格
布尔代数、有限布尔代数的表示定理

Pro Tip:

特殊的代数系统

例题

Example 1

“尽管有人聪明，但未必一切人都聪明”：

Let A(x)A(x)A(x) denote xxx is a person, B(x)B(x)B(x) denote xxx is clever.
∃x(A(x)∧B(x))∧¬∀x(A(x)→B(x))\exists x(A(x)\wedge B(x))\wedge \neg\forall x (A(x)\rightarrow B(x))∃x(A(x)∧B(x))∧¬∀x(A(x)→B(x))

Example 2

Prove that P(A)∩P(B)=P(A∩B)P(A)\cap P(B)=P(A\cap B)P(A)∩P(B)=P(A∩B).

【离散数学】 SEU - 29 - 2021/06/16 - Review (in Chinese)相关推荐

【离散数学】 SEU - 28 - 2021/06/11 - Lattice and Boolean Algebra
Discrete Mathematical Structures (6th Edition) 2021/06/09 - Lattice and Boolean Algebra Lattice and ...
Mculover666的博客文章导航（嵌入式宝藏站）（2021.06.17更新）
一.MCU系列 1. 开发环境 [Keil MDK](一)Keil MDK 5.28 的下载.安装.破解 [Keil MDK](二)Keil MDK中芯片器件包的安装 [Keil MDK](三)Kei ...
科恩第一章Friday, October 29, 2021 10:13 AM
文章目录 Chapeter 1 Part A Electromagnetic Waves and Photons **Wave-particle Duality** Chapeter 1 Friday ...
微软必应（Bing）打不开解决方案（2021.12.16）
2021.12.19 0:10更新:现在Bing已修复,可直接通过https://cn.bing.com/访问~ 问题描述 2021.12.16开始必应就打不开了.. 解决方案 1. 打开主页将原先 ...
【CVPR 2021】Knowledge Review：知识蒸馏新解法
[CVPR 2021]Knowledge Review:知识蒸馏新解法论文地址: 主要问题: 主要思路: 符号假设: 具体实现: 实验结果: 关注我的公众号: 联系作者: 论文地址: https:/ ...
2021.06.03邮票面值设计
2021.06.03邮票面值设计题目描述给定一个信封,最多只允许粘贴 N 张邮票,计算在给定 K(N+K≤15)种邮票的情况下(假定所有的邮票数量都足够),如何设计邮票的面值,能得到最大值 MAX ...
spring mvc get 请求对于 “Sun Sep 29 00:28:16 CST 2019”格式日期的处理
1.首先spring mvc 没有指定日期处理格式,比如 spring.mvc.date-format=yyyy-MM-dd HH:mm:ss 或者其他形式的日期转化配置: 2.get请求参数为 ...
液压支架销轴力学计算分析研究_第45届等级奖论文---ZY4800/06/16.5D型薄煤层液压支架群组支护力学特性研究...
南宁 (辽宁铁法能源公司小青煤矿,辽宁调兵山 112700) 摘要:本文以小青矿W2-701刨煤工作面为对象进行研究,基于弹性地基梁理论建立液压支架群组支护力学模型.运用有限元分析理论对ZY48 ...
2021.06.06家庭财经系统制作(2)
show tables; 查看数据库里有什么表命令. 碰到mysql软件问题.比想象的难缠. 用之前的方式打不开黑框(鼠标单击 mysql5.7 ccommand line Client),黑框一闪而 ...

【离散数学】 SEU - 29 - 2021/06/16 - Review (in Chinese)