1、定理：设I为有界闭区间，{U_α}为I的一个开覆盖，则，s.t 。

2、两个关键点：

（1）被覆盖区间必须是闭区间

（2）覆盖闭区间的区间、区间系必须是开区间

3、闭区间的这一性质，称为紧性

4、在拓扑的基本概念中，最令人费解的，莫过于“紧性”（Compactness），它描述一个空间或者一个集合“紧不紧”。正式的定义是“如果一个集合的任意开覆盖都有有限子覆盖，那么它是紧的”。乍一看，实在有些莫名其妙。它究竟想描述一个什么东西呢？和“紧”这个形容词又怎么扯上关系呢？一个直观一点的理解，几个集合是“紧”的，就是说，无限个点撒进去，不可能充分散开。无论邻域多么小，必然有一些邻域里面有无限个点。上面关于compactness的这个定义的玄机就在有限和无限的转换中。一个紧的集合，被无限多的小邻域覆盖着，但是，总能找到其中的有限个就能盖全。那么，后果是什么呢？无限个点撒进去，总有一个邻域包着无数个点。邻域们再怎么小都是这样——这就保证了无限序列中存在极限点。

Compact这个概念虽然有点不那么直观，可是在分析中有着无比重要的作用。因为它关系到极限的存在性——这是数学分析的基础。了解泛函分析的朋友都知道，序列是否收敛，很多时候就看它了。微积分中，一个重要的定理——有界数列必然包含收敛子列，就是根源于此。

——by 某大牛 in MIT

5、紧致性的问题，可以说是拓扑学中一个很重要的问题。对于实数来说，和闭区间紧致性有关的好几条引理，比如有限覆盖、闭区间套和Cantor的极限点引理。对于一般的拓扑空间来讲它们有一些推广。这些推广很好地刻画了紧致性。关于这个引理本身的理解，上面说得很好：不能把里面的点充分地撒开。正是因为“不能充分撒开”，所以一定有有限的开覆盖。紧致性是个拓扑性质，分析学中拓扑性质影响分析性质的例子实在太多，很多都和这个紧致性有关系。比如最基本的，在紧致集合上连续地函数必定能达到最大值和最小值。显然对于非紧致的集合这件事情不一定成立。

6、我的一些理解：

（1）既然是“任意-必”关系，那我们就不必考虑存在外点的情况。因为比如[a,b]需被覆盖，直接用一个大的开区间覆盖掉就行了嘛，但这就没有研究的必要的。我们考虑那些不那么“显然”的情况。是内点的领域，可以知道，是肯定可以完全覆盖[a,b]的。我们需要证明可以选取有限个内点，它们的领域并起来可以完全覆盖[a,b]。

（2）有一个直观的比喻。将实数想象成人，站在[a,b]这一段下雨了，所有人打伞肯定可以保证所有人都不会被淋湿。但我们可以从中选出有限个人打伞，其余人不打伞，同样可以保证所有人都不会被淋湿。而如果是(a,b)这一段下雨了，a端点这个人不需要有伞，而从右向a靠近的过程中有无穷个人，我选取某人打伞，在左侧总有人会淋到雨，而只是恰好覆盖掉(a,b)而已。

（3）举个例子解释一下上面(a,b)的情况。比如考虑区间(1,2)，我们用去覆盖它，，可知时，覆盖掉(1,2)，即并起来为(1,2)。但我们并不能做到选取有限个区间去替换掉，因为能够覆盖到(1,2)的那个区间在“无穷”的那个位置。

（4）对于为什么不能用闭区间去覆盖闭区间。首先开覆盖定理对应泛函分析中的紧性。关键在于，开区间的每个点都是内点（这里我想表达的是，如果某个开区间把某个点x覆盖掉了，那么一定不是只恰好覆盖了x，而是覆盖了x的一个领域），而闭区间不一定（这里的闭区间包括单点集）。那么有[a,b]可以被[a,b]上所有单点集之并完全覆盖，但这是无限个的，且任意剔除一个都会导致[a,b]不能被完全覆盖。