自动控制原理9.1---线性系统的状态空间描述(中下)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.线性系统的状态空间描述

1.4 线性定常连续系统状态方程的解

齐次状态方程的解

状态方程为：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) (41) \dot{x}(t)=Ax(t)\tag{41} x˙(t)=Ax(t)(41)
式(41)称为齐次状态方程，通常采用幂级数法和拉普拉斯变换法求解；
1. 幂级数法
  
  设齐次状态方程的解是 t t t的向量幂级数，
  x ( t ) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ + b k t k + ⋯ + (42) x(t)=b_0+b_1t+b_2t^2+\dots+b_kt^k+\dots+\tag{42} x(t)=b0+b1t+b2t2+⋯+bktk+⋯+(42)
  式中， x , b 0 , b 1 , … , b k , … x,b_0,b_1,\dots,b_k,\dots x,b0,b1,…,bk,…都是 n n n维向量；
  x ˙ ( t ) = b 1 + 2 b 2 t + ⋯ + k b k t k − 1 + ⋯ = A ( b 0 + b 1 t + b 2 t 2 + ⋯ + b k t k + … ) (43) \dot{x}(t)=b_1+2b_2t+\dots+kb_kt^{k-1}+\dots=A(b_0+b_1t+b_2t^2+\dots+b_kt^k+\dots)\tag{43} x˙(t)=b1+2b2t+⋯+kbktk−1+⋯=A(b0+b1t+b2t2+⋯+bktk+…)(43)
  可得：
  x ( t ) = ( I + A t + 1 2 A 2 t 2 + ⋯ + 1 k ! A k t k + ⋯ + ) x ( 0 ) (44) x(t)=\left(I+At+\frac{1}{2}A^2t^2+\dots+\frac{1}{k!}A^kt^k+\dots+\right)x(0)\tag{44} x(t)=(I+At+21A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯+)x(0)(44)
  定义：
  e A t = I + A t + 1 2 A 2 t 2 + ⋯ + 1 k ! A k t k + ⋯ + = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! A k t k (45) e^{At}=I+At+\frac{1}{2}A^2t^2+\dots+\frac{1}{k!}A^kt^k+\dots+=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}A^kt^k\tag{45} eAt=I+At+21A2t2+⋯+k!1Aktk+⋯+=k=0∑∞k!1Aktk(45)
  则有：
  x ( t ) = e A t x ( 0 ) (46) x(t)=e^{At}x(0)\tag{46} x(t)=eAtx(0)(46)
  标量微分方程 x ˙ = a x \dot{x}=ax x˙=ax的解为： x ( t ) = e a t x ( 0 ) ， e a t x(t)=e^{at}x(0)，e^{at} x(t)=eatx(0)，eat称为指数函数，向量微分方程具有相似形式的解，故把 e A t e^{At} eAt称为矩阵指数函数，简称矩阵指数；由于 x ( t ) x(t) x(t)由 x ( 0 ) x(0) x(0)转移而来，对于线性定常系统， e A t e^{At} eAt亦称状态转移矩阵，记为 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)，即：
  Φ ( t ) = e A t (47) \Phi(t)=e^{At}\tag{47} Φ(t)=eAt(47)
2. 拉普拉斯变换法
  
  状态方程：
  x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot{x}(t)=Ax(t) x˙(t)=Ax(t)
  将上式进行拉氏变换，
  s X ( s ) = A X ( s ) + x ( 0 ) (48) sX(s)=AX(s)+x(0)\tag{48} sX(s)=AX(s)+x(0)(48)
  则有：
  X ( s ) = ( s I − A ) − 1 x ( 0 ) (49) X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)\tag{49} X(s)=(sI−A)−1x(0)(49)
  进行拉氏反变换：
  x ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] x ( 0 ) (50) x(t)=L^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]x(0)\tag{50} x(t)=L−1[(sI−A)−1]x(0)(50)
  式(46)和式(50)比较：
  e A t = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] e^{At}=L^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right] eAt=L−1[(sI−A)−1]
状态转移矩阵的运算性质

状态转移矩阵 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)的幂级数展开式：
Φ ( t ) = e A t = I + A t + 1 2 A 2 t 2 + ⋯ + 1 k ! A k t k + … (51) \Phi(t)=e^{At}=I+At+\frac{1}{2}A^2t^2+\dots+\frac{1}{k!}A^kt^k+\dots\tag{51} Φ(t)=eAt=I+At+21A2t2+⋯+k!1Aktk+…(51)
1. Φ ( 0 ) = I \Phi(0)=I Φ(0)=I；
2. Φ ˙ ( t ) = A Φ ( t ) = Φ ( t ) A \dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)=\Phi(t)A Φ˙(t)=AΦ(t)=Φ(t)A；
3. Φ ( t 1 ± t 2 ) = Φ ( t 1 ) Φ ( ± t 2 ) = Φ ( ± t 2 ) Φ ( t 1 ) \Phi(t_1±t_2)=\Phi(t_1)\Phi(±t_2)=\Phi(±t_2)\Phi(t_1) Φ(t1±t2)=Φ(t1)Φ(±t2)=Φ(±t2)Φ(t1)；
4. Φ − 1 ( t ) = Φ ( − t ) , Φ − 1 ( − t ) = Φ ( t ) \Phi^{-1}(t)=\Phi(-t),\Phi^{-1}(-t)=\Phi(t) Φ−1(t)=Φ(−t),Φ−1(−t)=Φ(t)；
5. x ( t 2 ) = Φ ( t 2 − t 1 ) x ( t 1 ) x(t_2)=\Phi(t_2-t_1)x(t_1) x(t2)=Φ(t2−t1)x(t1)；
6. Φ ( t 2 − t 0 ) = Φ ( t 2 − t 1 ) Φ ( t 1 − t 0 ) \Phi(t_2-t_0)=\Phi(t_2-t_1)\Phi(t_1-t_0) Φ(t2−t0)=Φ(t2−t1)Φ(t1−t0)；
7. [ Φ ( t ) ] k = Φ ( k t ) [\Phi(t)]^k=\Phi(kt) [Φ(t)]k=Φ(kt)；
8. 若 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)为 x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot{x}(t)=Ax(t) x˙(t)=Ax(t)的状态转移矩阵，则引入非奇异变换 x = P x ‾ x=P\overline{x} x=Px后的状态转移矩阵为： Φ ‾ ( t ) = P − 1 e A t P \overline{\Phi}(t)=P^{-1}e^{At}P Φ(t)=P−1eAtP；
9. 两种常见的状态转移矩阵；设 A = d i a g [ λ 1 , λ 2 , … , λ n ] A=diag[\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n] A=diag[λ1,λ2,…,λn]，即 A A A为对角阵，且具有互异元素，则：
  Φ ( t ) = [ e λ 1 t e λ 2 t ⋱ e λ n t ] (52) \Phi(t)= \begin{bmatrix} e^{\lambda_1t}& & &\\ & e^{\lambda_2t} & & \\ &&\ddots\\ &&&e^{\lambda_nt} \end{bmatrix}\tag{52} Φ(t)=⎣ ⎡eλ1teλ2t⋱eλnt⎦ ⎤(52)
  设 A A A阵为 m × m m\times{m} m×m约当阵：
  A = [ λ 1 λ ⋱ ⋱ 1 λ ] (53) A= \begin{bmatrix} \lambda & 1 & &\\ &\lambda & \ddots\\ &&\ddots & 1\\ &&&\lambda \end{bmatrix}\tag{53} A=⎣ ⎡λ1λ⋱⋱1λ⎦ ⎤(53)
  则：
  Φ ( t ) = [ e λ t t e λ t t 2 2 e λ t ⋯ t m − 1 ( m − 1 ) ! e λ t 0 e λ t t e λ t ⋯ t m − 2 ( m − 2 ) ! e λ t ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ t e λ t 0 0 0 ⋯ e λ t ] (54) \Phi(t)= \begin{bmatrix} e^{\lambda{t}} & te^{\lambda{t}} & \displaystyle\frac{t^2}{2}e^{\lambda{t}}&\cdots & \displaystyle\frac{t^{m-1}}{(m-1)!}e^{\lambda{t}}\\ 0 & e^{\lambda{t}} & te^{\lambda{t}} & \cdots & \displaystyle\frac{t^{m-2}}{(m-2)!}e^{\lambda{t}}\\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & te^{\lambda{t}}\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda{t}} \end{bmatrix}\tag{54} Φ(t)=⎣ ⎡eλt0⋮00teλteλt⋮002t2eλtteλt⋮00⋯⋯⋯⋯(m−1)!tm−1eλt(m−2)!tm−2eλt⋮teλteλt⎦ ⎤(54)
  实例分析：
  
  Example4： 设状态方程为：
  [ x ˙ 1 ( t ) x ˙ 2 ( t ) ] = [ 0 1 − 2 − 3 ] [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] \begin{bmatrix} \dot{x}_1(t)\\ \dot{x}_2(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix} [x˙1(t)x˙2(t)]=[0−21−3][x1(t)x2(t)]
  求状态方程的解.
  
  解：
  
  用拉氏变换求解：
  s I − A = [ s 0 0 s ] − [ 0 1 − 2 − 3 ] = [ s − 1 2 s + 3 ] sI-A= \begin{bmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} sI−A=[s00s]−[0−21−3]=[s2−1s+3]
  
  ( s I − A ) − 1 = a d j ( s I − A ) ∣ s I − A ∣ = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) [ s + 3 1 − 2 s ] = [ 2 s + 1 − 1 s + 2 1 s + 1 − 1 s + 2 − 2 s + 1 + 2 s + 2 − 1 s + 1 + 2 s + 2 ] \begin{aligned} (sI-A)^{-1}&=\frac{adj(sI-A)}{|sI-A|}=\frac{1}{(s+1)(s+2)} \begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{2}{s+1}-\displaystyle\frac{1}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+1}-\displaystyle\frac{1}{s+2}\\\\ \displaystyle\frac{-2}{s+1}+\displaystyle\frac{2}{s+2} & \displaystyle\frac{-1}{s+1}+\displaystyle\frac{2}{s+2} \end{bmatrix} \end{aligned} (sI−A)−1=∣sI−A∣adj(sI−A)=(s+1)(s+2)1[s+3−21s]=⎣ ⎡s+12−s+21s+1−2+s+22s+11−s+21s+1−1+s+22⎦ ⎤
  
  可得：
  Φ ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] \Phi(t)=L^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t]
  状态方程的解为：
  [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] = Φ ( t ) [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ] \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix}= \Phi(t)\begin{bmatrix}x_1(0)\\x_2(0)\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(0)\\ x_2(0) \end{bmatrix} [x1(t)x2(t)]=Φ(t)[x1(0)x2(0)]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t][x1(0)x2(0)]
非齐次状态方程的解

非齐次状态方程如下：
x ˙ ( t ) = A x ( t ) + B u ( t ) (55) \dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t)\tag{55} x˙(t)=Ax(t)+Bu(t)(55)
方程的解为：
x ( t ) = Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t Φ ( t − τ ) B u ( τ ) d τ (56) x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_0^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau\tag{56} x(t)=Φ(t)x(0)+∫0tΦ(t−τ)Bu(τ)dτ(56)
式中第一项是对初始状态的响应，第二项是对输入作用的响应；

亦可表示为：
x ( t ) = Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t Φ ( τ ) B u ( t − τ ) d τ (57) x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_{0}^t\Phi(\tau)Bu(t-\tau)d\tau\tag{57} x(t)=Φ(t)x(0)+∫0tΦ(τ)Bu(t−τ)dτ(57)
实例分析：

Example5： 系统状态方程为：
[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ 0 1 − 2 − 3 ] [ x 1 x 2 ] + [ 0 1 ] u \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}u [x˙1x˙2]=[0−21−3][x1x2]+[01]u
且 x ( 0 ) = [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ] T x(0)=\begin{bmatrix}x_1(0) & x_2(0)\end{bmatrix}^T x(0)=[x1(0)x2(0)]T；求在 u ( t ) = 1 ( t ) u(t)=1(t) u(t)=1(t)作用下状态方程的解；

解：

由于： u ( t ) = 1 , u ( t − τ ) = 1 u(t)=1,u(t-\tau)=1 u(t)=1,u(t−τ)=1，可得：
x ( t ) = Φ ( t ) x ( 0 ) + ∫ 0 t Φ ( t ) B d τ x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_{0}^t\Phi(t)Bd\tau x(t)=Φ(t)x(0)+∫0tΦ(t)Bdτ

s I − A = [ s 0 0 s ] − [ 0 1 − 2 − 3 ] = [ s − 1 2 s + 3 ] sI-A= \begin{bmatrix} s & 0\\ 0 & s \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} s & -1 \\ 2 & s+3 \end{bmatrix} sI−A=[s00s]−[0−21−3]=[s2−1s+3]

( s I − A ) − 1 = a d j ( s I − A ) ∣ s I − A ∣ = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) [ s + 3 1 − 2 s ] = [ 2 s + 1 − 1 s + 2 1 s + 1 − 1 s + 2 − 2 s + 1 + 2 s + 2 − 1 s + 1 + 2 s + 2 ] \begin{aligned} (sI-A)^{-1}&=\frac{adj(sI-A)}{|sI-A|}=\frac{1}{(s+1)(s+2)} \begin{bmatrix} s+3 & 1 \\ -2 & s \end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{2}{s+1}-\displaystyle\frac{1}{s+2} & \displaystyle\frac{1}{s+1}-\displaystyle\frac{1}{s+2}\\\\ \displaystyle\frac{-2}{s+1}+\displaystyle\frac{2}{s+2} & \displaystyle\frac{-1}{s+1}+\displaystyle\frac{2}{s+2} \end{bmatrix} \end{aligned} (sI−A)−1=∣sI−A∣adj(sI−A)=(s+1)(s+2)1[s+3−21s]=⎣ ⎡s+12−s+21s+1−2+s+22s+11−s+21s+1−1+s+22⎦ ⎤

Φ ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] \Phi(t)=L^{-1}\left[(sI-A)^{-1}\right]= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix} Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t]

∫ 0 t Φ ( τ ) B d τ = ∫ 0 t [ e − τ − e − 2 τ − e − τ + 2 e − 2 τ ] d τ = [ − e − τ + 1 2 e − 2 τ e − τ − e − 2 τ ] ∣ 0 t = [ − e − t + 1 2 e − 2 t + 1 2 e − t − e − 2 t ] \int_0^t\Phi(\tau)Bd\tau=\int_0^t \begin{bmatrix} e^{-\tau}-e^{-2\tau}\\ -e^{-\tau}+2e^{-2\tau} \end{bmatrix}d\tau= \left.\begin{bmatrix} -e^{-\tau}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{-2\tau}\\ e^{-\tau}-e^{-2\tau} \end{bmatrix}\right|_0^t= \begin{bmatrix} -e^{-t}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{-2t}+\displaystyle\frac{1}{2}\\ e^{-t}-e^{-2t} \end{bmatrix} ∫0tΦ(τ)Bdτ=∫0t[e−τ−e−2τ−e−τ+2e−2τ]dτ=[−e−τ+21e−2τe−τ−e−2τ]∣ ∣0t=[−e−t+21e−2t+21e−t−e−2t]

因此：
x ( t ) = [ x 1 ( t ) x 2 ( t ) ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] [ x 1 ( 0 ) x 2 ( 0 ) ] + [ − e − t + 1 2 e − 2 t + 1 2 e − t − e − 2 t ] x(t)= \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t}\\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(0)\\ x_2(0) \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} -e^{-t}+\displaystyle\frac{1}{2}e^{-2t}+\displaystyle\frac{1}{2}\\ e^{-t}-e^{-2t} \end{bmatrix} x(t)=[x1(t)x2(t)]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2te−t−e−2t−e−t+2e−2t][x1(0)x2(0)]+[−e−t+21e−2t+21e−t−e−2t]

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