自动控制原理9.1---线性系统的状态空间描述(中上)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.线性系统的状态空间描述

1.3 线性定常连续系统状态空间表达式的建立

建立状态空间表达式的方法：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是由已知的系统其他数学模型经过转化得到状态空间表达式；

根据系统机理建立状态空间表达式

实例分析：

Example1： 系统电路图如下图所示，选择状态变量建立状态空间表达式；

解：

根据电路定律列写方程：
Ri+Ldidt+1C∫idt=eRi+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i}dt=e Ri+Ldtdi+C1∫idt=e
电路输出量为：
y=ec=1C∫idty=e_c=\frac{1}{C}\int{i}dt y=ec=C1∫idt
设状态变量x1=i,x2=1C∫idtx_1=i,x_2=\displaystyle\frac{1}{C}\int{i}dtx1=i,x2=C1∫idt，则状态方程为：
{x˙1=−RLx1−1Lx2+1Lex˙2=1Cx1\begin{cases} &\dot{x}_1=-\displaystyle\frac{R}{L}x_1-\frac{1}{L}x_2+\frac{1}{L}e\\ &\dot{x}_2=\displaystyle\frac{1}{C}x_1 \end{cases} ⎩⎨⎧x˙1=−LRx1−L1x2+L1ex˙2=C1x1
输出方程为：
y=x2y=x_2 y=x2
向量-矩阵形式为：
[x˙1x˙2]=[−RL−1L1C0][x1x2]+[1L0]ey=[01][x1x2]\begin{aligned} &\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -\displaystyle\frac{R}{L} & -\displaystyle\frac{1}{L}\\\\ \displaystyle\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{L}\\ 0 \end{bmatrix}e\\ &y= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix} \end{aligned} [x˙1x˙2]=⎣⎡−LRC1−L10⎦⎤[x1x2]+[L10]ey=[01][x1x2]
简记为：
{x˙=Ax+bey=cx\begin{cases} &\dot{x}=Ax+be\\ &y=cx \end{cases} {x˙=Ax+bey=cx
式中：
x˙=[x˙1x˙2],x=[x1x2],A=[−RL−1L1C0],b=[1L0],c=[01]\dot{x}= \begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix}, {x}= \begin{bmatrix} {x}_1\\ {x}_2 \end{bmatrix}, A= \begin{bmatrix} -\displaystyle\frac{R}{L} & -\displaystyle\frac{1}{L}\\\\ \displaystyle\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} \displaystyle\frac{1}{L}\\ 0 \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} x˙=[x˙1x˙2],x=[x1x2],A=⎣⎡−LRC1−L10⎦⎤,b=[L10],c=[01]
由系统微分方程建立状态空间表达式
1. 系统输入量中不含导数项。
  
  单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：
  y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+⋯+a1y˙+a0y=β0u(5)y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots+a_1\dot{y}+a_0y=\beta_0u\tag{5} y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+⋯+a1y˙+a0y=β0u(5)
  其中：y,uy,uy,u分别为系统的输出、输入量；a0,a1,…,an−1,β0a_0,a_1,\dots,a_{n-1},\beta_0a0,a1,…,an−1,β0是由系统特性确定的常系数；
  
  选取nnn个状态变量为：x1=y,x2=y˙,…,xn=y(n−1)x_1=y,x_2=\dot{y},\dots,x_n=y^{(n-1)}x1=y,x2=y˙,…,xn=y(n−1)，式(5)化为如下形式：
  {x˙1=x2x˙2=x3⋮x˙n−1=xnx˙n=−a0x1−a1x2−⋯−an−1xn+β0uy=x1(6)\begin{cases} &\dot{x}_1=x_2\\ &\dot{x}_2=x_3\\ &\space\space\space\space\space\space\vdots\\ &\dot{x}_{n-1}=x_n\\ &\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-1}x_n+\beta_0u\\ &y=x_1 \end{cases}\tag{6} ⎩⎨⎧x˙1=x2x˙2=x3 ⋮x˙n−1=xnx˙n=−a0x1−a1x2−⋯−an−1xn+β0uy=x1(6)
  向量-矩阵形式为：
  {x˙=Ax+buy=cx(7)\begin{cases} &\dot{x}=Ax+bu\\ &y=cx \end{cases}\tag{7} {x˙=Ax+buy=cx(7)
  式中：
  x=[x1x2⋮xn−1xn]，A=[010…0001…0⋮⋮⋮⋮000…1−a0−a1−a2…−an−1]，b=[00⋮0β0]x= \begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_{n-1}\\ x_n \end{bmatrix}，A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix}，b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \beta_0 \end{bmatrix} x=⎣⎡x1x2⋮xn−1xn⎦⎤，A=⎣⎡00⋮0−a010⋮0−a101⋮0−a2…………00⋮1−an−1⎦⎤，b=⎣⎡00⋮0β0⎦⎤
  
  c=[100…0]c= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix} c=[100…0]
  
  状态变量图如下图所示：
2. 系统输入量中含有导数项
  
  线性定常连续系统微分方程一般形式为：
  y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+⋯+a1y˙+a0y=bnu(n)+bn−1un−1+⋯+b1u˙+b0u(8)\begin{aligned} &y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+a_{n-2}y^{(n-2)}+\dots+a_1\dot{y}+a_0y\\ =&b_nu^{(n)}+b_{n-1}u^{n-1}+\dots+b_1\dot{u}+b_0u \end{aligned}\tag{8} =y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+⋯+a1y˙+a0ybnu(n)+bn−1un−1+⋯+b1u˙+b0u(8)
  1. bn≠0b_n≠0bn=0情况
    
    按如下规则选择状态变量，设：
    {x1=y−h0uxi=x˙i−1−hi−1u;i=2,3,…,n(9)\begin{cases} &x_1=y-h_0u\\ &x_i=\dot{x}_{i-1}-h_{i-1}u;i=2,3,\dots,n \end{cases}\tag{9} {x1=y−h0uxi=x˙i−1−hi−1u;i=2,3,…,n(9)
    展开式为：
    {x1=y−h0ux2=x˙1−h1u=y˙−h0u˙−h1ux3=x˙2−h2u=y¨−h0u¨−h1u˙−h2u⋮xn−1=x˙n−2−hn−2u=y(n−2)−h0u(n−2)−h1un−3−⋯−hn−2uxn=x˙n−1−hn−1u=y(n−1)−h0un−1−h1un−2−⋯−hn−1u(10)\begin{cases} &x_1=y-h_0u\\ &x_2=\dot{x}_1-h_1u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_1u\\ &x_3=\dot{x}_2-h_2u=\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}-h_2u\\ &\space\vdots\\ &x_{n-1}=\dot{x}_{n-2}-h_{n-2}u=y^{(n-2)}-h_0u^{(n-2)}-h_1u^{n-3}-\dots-h_{n-2}u\\ &x_n=\dot{x}_{n-1}-h_{n-1}u=y^{(n-1)}-h_0u^{n-1}-h_1u^{n-2}-\dots-h_{n-1}u \end{cases}\tag{10} ⎩⎨⎧x1=y−h0ux2=x˙1−h1u=y˙−h0u˙−h1ux3=x˙2−h2u=y¨−h0u¨−h1u˙−h2u ⋮xn−1=x˙n−2−hn−2u=y(n−2)−h0u(n−2)−h1un−3−⋯−hn−2uxn=x˙n−1−hn−1u=y(n−1)−h0un−1−h1un−2−⋯−hn−1u(10)
    式中，h0,h1,h2,…,hn−1h_0,h_1,h_2,\dots,h_{n-1}h0,h1,h2,…,hn−1是nnn个待定常数；
    
    输出方程为：
    y=x1+h0u(11)y=x_1+h_0u\tag{11} y=x1+h0u(11)
    其余可得n−1n-1n−1个状态方程：
    {x˙1=x2+h1ux˙2=x3+h2u⋮x˙n−1=xn+hn−1u(12)\begin{cases} &\dot{x}_1=x_2+h_1u\\ &\dot{x}_2=x_3+h_2u\\ &\vdots\\ &\dot{x}_{n-1}=x_{n}+h_{n-1}u \end{cases}\tag{12} ⎩⎨⎧x˙1=x2+h1ux˙2=x3+h2u⋮x˙n−1=xn+hn−1u(12)
    对xnx_nxn求导数可得：
    x˙n=y(n)−h0u(n)−h1u(n−1)−⋯−hn−1u˙=(−an−1y(n−1)−an−2y(n−2)−⋯−a1y˙−a0y+b0u(n)+⋯+b1u˙+b0u)−h0u(n)−h1u(n−1)−⋯−hn−1u˙\begin{aligned} \dot{x}_n&=y^{(n)}-h_0u^{(n)}-h_1u^{(n-1)}-\dots-h_{n-1}\dot{u}\\ &=(-a_{n-1}y^{(n-1)}-a_{n-2}y^{(n-2)}-\dots-a_1\dot{y}-a_0y+\\&\space\space\space\space\space{b}_0u^{(n)}+\dots+b_1\dot{u}+b_0u)-h_0u^{(n)}-h_1u^{(n-1)}-\dots-h_{n-1}\dot{u} \end{aligned} x˙n=y(n)−h0u(n)−h1u(n−1)−⋯−hn−1u˙=(−an−1y(n−1)−an−2y(n−2)−⋯−a1y˙−a0y+ b0u(n)+⋯+b1u˙+b0u)−h0u(n)−h1u(n−1)−⋯−hn−1u˙
    综合整理得：
    x˙n=−a0x1−a1x2−⋯−an−2xn−1−an−1xn+hnu(13)\dot{x}_n=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-2}x_{n-1}-a_{n-1}x_{n}+h_nu\tag{13} x˙n=−a0x1−a1x2−⋯−an−2xn−1−an−1xn+hnu(13)
    向量-矩阵形式为：
    x˙=Ax+bu,y=cx+du(14)\dot{x}=Ax+bu,y=cx+du\tag{14} x˙=Ax+bu,y=cx+du(14)
    式中：
    A=[010…0001…0⋮⋮⋮⋮000…0−a0−a1−a2…−an−1],b=[h1h2⋮hn−1hn]A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix},b= \begin{bmatrix} h_1\\ h_2\\ \vdots\\ h_{n-1}\\ h_n \end{bmatrix} A=⎣⎡00⋮0−a010⋮0−a101⋮0−a2…………00⋮0−an−1⎦⎤,b=⎣⎡h1h2⋮hn−1hn⎦⎤
    
    c=[100…0],d=h0c= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}, d=h_0 c=[100…0],d=h0
    
    状态变量图如下图所示：
  2. bn=0b_n=0bn=0情况
    
    按如下规则选择一组状态变量，设：
    {xn=yxi=x˙i+1+aiy−biu;i=1,2,…,n−1(15)\begin{cases} &x_n=y\\ &x_i=\dot{x}_{i+1}+a_iy-b_iu;i=1,2,\dots,n-1 \end{cases}\tag{15} {xn=yxi=x˙i+1+aiy−biu;i=1,2,…,n−1(15)
    展开式为：
    {xn−1=x˙n+an−1y−bn−1u=y˙+an−1y−bn−1uxn−2=x˙n−1+an−2y−bn−2u=y¨+an−1y˙−bn−1u˙+an−2y−bn−2u⋮x2=x˙3+a2y−b2u=y(n−2)+an−1y(n−3)−bn−1u(n−3)+an−2y(n−4)−bn−2u(n−4)+⋯+a2y−b2ux1=x˙2+a1y−b1u=y(n−1)+an−1y(n−2)−bn−1u(n−2)+an−2y(n−3)−bn−2u(n−3)+⋯+a1y−b1u\begin{cases} &x_{n-1}=\dot{x}_n+a_{n-1}y-b_{n-1}u=\dot{y}+a_{n-1}y-b_{n-1}u\\ &x_{n-2}=\dot{x}_{n-1}+a_{n-2}y-b_{n-2}u=\ddot{y}+a_{n-1}\dot{y}-b_{n-1}\dot{u}+a_{n-2}y-b_{n-2}u\\ &\vdots\\ &x_2=\dot{x}_3+a_2y-b_2u\\ &\space\space\space\space\space=y^{(n-2)}+a_{n-1}y^{(n-3)}-b_{n-1}u^{(n-3)}+a_{n-2}y^{(n-4)}-b_{n-2}u^{(n-4)}+\dots+a_2y-b_2u\\ &x_1=\dot{x}_2+a_1y-b_1u\\ &\space\space\space\space\space=y^{(n-1)}+a_{n-1}y^{(n-2)}-b_{n-1}u^{(n-2)}+a_{n-2}y^{(n-3)}-b_{n-2}u^{(n-3)}+\dots+a_1y-b_1u \end{cases} ⎩⎨⎧xn−1=x˙n+an−1y−bn−1u=y˙+an−1y−bn−1uxn−2=x˙n−1+an−2y−bn−2u=y¨+an−1y˙−bn−1u˙+an−2y−bn−2u⋮x2=x˙3+a2y−b2u =y(n−2)+an−1y(n−3)−bn−1u(n−3)+an−2y(n−4)−bn−2u(n−4)+⋯+a2y−b2ux1=x˙2+a1y−b1u =y(n−1)+an−1y(n−2)−bn−1u(n−2)+an−2y(n−3)−bn−2u(n−3)+⋯+a1y−b1u
    bn=0b_n=0bn=0时动态方程为：
    x˙=Ax+bu,y=cx(16)\dot{x}=Ax+bu,y=cx\tag{16} x˙=Ax+bu,y=cx(16)
    其中：
    A=[00…0−a010…0−a101…0−a2⋮⋮⋮⋮00…1−an−1],b=[b0b1b2⋮bn−1],c=[00…1](17)A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix},b= \begin{bmatrix} b_0\\ b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_{n-1} \end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}0 & 0 & \dots & 1\end{bmatrix}\tag{17} A=⎣⎡010⋮0001⋮0…………000⋮1−a0−a1−a2⋮−an−1⎦⎤,b=⎣⎡b0b1b2⋮bn−1⎦⎤,c=[00…1](17)
    实例分析：
    
    Example2： 设二阶系统微分方程为：
    y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u\ddot{y}+2\zeta\omega\dot{y}+\omega^2y=T\dot{u}+u y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u
    求系统状态空间表达式。
    
    解：
    设状态变量：
    
    x1=y−h0u,x2=x˙1−h1u=y˙−h0u˙−h1ux_1=y-h_0u,x_2=\dot{x}_1-h_1u=\dot{y}-h_0\dot{u}-h_1u x1=y−h0u,x2=x˙1−h1u=y˙−h0u˙−h1u
    
    对x2x_2x2求导且考虑x1,x2x_1,x_2x1,x2及系统微分方程，可得：
    
    x˙2=y¨−h0u¨−h1u˙=(−ω2y−2ζωy˙+Tu˙+u)−h0u¨−h1u˙=−ω2x1−2ζωx2−h0u¨+(T−2ζωh0−h1)u˙+(1−ω2h0−2ζωh1)u\begin{aligned} \dot{x}_2&=\ddot{y}-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}=(-\omega^2y-2\zeta\omega\dot{y}+T\dot{u}+u)-h_0\ddot{u}-h_1\dot{u}\\ &=-\omega^2x_1-2\zeta\omega{x_2}-h_0\ddot{u}+(T-2\zeta\omega{h_0}-h_1)\dot{u}+(1-\omega^2h_0-2\zeta\omega{h_1})u \end{aligned} x˙2=y¨−h0u¨−h1u˙=(−ω2y−2ζωy˙+Tu˙+u)−h0u¨−h1u˙=−ω2x1−2ζωx2−h0u¨+(T−2ζωh0−h1)u˙+(1−ω2h0−2ζωh1)u
    
    令u¨，u˙\ddot{u}，\dot{u}u¨，u˙项的系数为零，可得：
    
    h0=0,h1=Th_0=0,h_1=T h0=0,h1=T
    
    因此，
    
    x˙2=−ω2x1−2ζωx2+(1−2ζωT)u\dot{x}_2=-\omega^2x_1-2\zeta\omega{x_2}+(1-2\zeta\omega{T})u x˙2=−ω2x1−2ζωx2+(1−2ζωT)u
    
    系统状态空间表达式为：
[x˙1x˙2]=[01−ω2−2ζω][x1x2]+[T1−2ζωT]u,y=[10][x1x2]\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} T\\ 1-2\zeta\omega{T} \end{bmatrix}u,y=\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix} [x˙1x˙2]=[0−ω21−2ζω][x1x2]+[T1−2ζωT]u,y=[10][x1x2]
1. 由系统传递函数建立状态空间表达式
  
  系统传递函数为：
  G(s)=Y(s)U(s)=bnsn+bn−1sn−1+bn−2sn−2+⋯+b1s+b0sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+a0(18)G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_ns^n+b_{n-1}s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+\dots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0}\tag{18} G(s)=U(s)Y(s)=sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+a0bnsn+bn−1sn−1+bn−2sn−2+⋯+b1s+b0(18)
  应用综合除法：
  G(s)=bn+βn−1sn−1+βn−2sn−2+⋯+β1s+β0sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+a0≜bn+N(s)D(s)(19)G(s)=b_n+\frac{\beta_{n-1}s^{n-1}+\beta_{n-2}s^{n-2}+\dots+\beta_1s+\beta_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+a_{n-2}s^{n-2}+\dots+a_1s+a_0}\triangleq{b_n}+\frac{N(s)}{D(s)}\tag{19} G(s)=bn+sn+an−1sn−1+an−2sn−2+⋯+a1s+a0βn−1sn−1+βn−2sn−2+⋯+β1s+β0≜bn+D(s)N(s)(19)
  其中：bnb_nbn是直接联系输入与输出量的前馈系数，当G(s)G(s)G(s)分母次数大于分子次数时，bn=0b_n=0bn=0，N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)是严格有理真分式，其系数由综合除法得到：
  {β0=b0−a0bnβ1=b1−a1bn⋮βn−2=bn−2−an−2bnβn−1=bn−1−an−1bn(20)\begin{cases} &\beta_0=b_0-a_0b_n\\ &\beta_1=b_1-a_1b_n\\ &\vdots\\ &\beta_{n-2}=b_{n-2}-a_{n-2}b_n\\ &\beta_{n-1}=b_{n-1}-a_{n-1}b_n \end{cases}\tag{20} ⎩⎨⎧β0=b0−a0bnβ1=b1−a1bn⋮βn−2=bn−2−an−2bnβn−1=bn−1−an−1bn(20)
  
  由N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)导出几种标准形式动态方程的方法：
  1. N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)串联分解情况。
    
    其中：zzz为中间变量，z,yz,yz,y满足：
    {z(n)+an−1z(n−1)+⋯+a1z˙+a0z=uy=βn−1z(n−1)+⋯+β1z˙+β0z\begin{cases} &z^{(n)}+a_{n-1}z^{(n-1)}+\dots+a_1\dot{z}+a_0z=u\\ &y=\beta_{n-1}z^{(n-1)}+\dots+\beta_1\dot{z}+\beta_0z \end{cases} {z(n)+an−1z(n−1)+⋯+a1z˙+a0z=uy=βn−1z(n−1)+⋯+β1z˙+β0z
    选取状态变量：
    x1=z,x2=z˙,x3=z¨,…,xn=z(n−1)(21)x_1=z,x_2=\dot{z},x_3=\ddot{z},\dots,x_n=z^{(n-1)}\tag{21} x1=z,x2=z˙,x3=z¨,…,xn=z(n−1)(21)
    则状态方程为：
    {x˙1=x2x˙2=x3⋮x˙n=−a0z−a1z˙−⋯−an−1z(n−1)+u=−a0x1−a1x2−⋯−an−1xn+u(22)\begin{cases} &\dot{x}_1=x_2\\ &\dot{x}_2=x_3\\ &\vdots\\ &\dot{x}_n=-a_0z-a_1\dot{z}-\dots-a_{n-1}z^{(n-1)}+u\\ &\space\space\space\space=-a_0x_1-a_1x_2-\dots-a_{n-1}x_n+u\\ \end{cases}\tag{22} ⎩⎨⎧x˙1=x2x˙2=x3⋮x˙n=−a0z−a1z˙−⋯−an−1z(n−1)+u =−a0x1−a1x2−⋯−an−1xn+u(22)
    输出方程为：
    y=−β0x1−β1x2−⋯−βn−1xn(23)y=-\beta_0x_1-\beta_1x_2-\dots-\beta_{n-1}x_n\tag{23} y=−β0x1−β1x2−⋯−βn−1xn(23)
    向量-矩阵形式为：
    x˙=Ax+bu,y=cx(24)\dot{x}=Ax+bu,y=cx\tag{24} x˙=Ax+bu,y=cx(24)
    
    A=[010…0001…0⋮⋮⋮⋮000…1−a0−a1−a2…−an−1],b=[00⋮01],c=[β0β1…βn−1](25)A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1\\ -a_0 & -a_1 & -a_2 & \dots & -a_{n-1} \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} \beta_0 & \beta_1 & \dots & \beta_{n-1} \end{bmatrix}\tag{25} A=⎣⎡00⋮0−a010⋮0−a101⋮0−a2…………00⋮1−an−1⎦⎤,b=⎣⎡00⋮01⎦⎤,c=[β0β1…βn−1](25)
    
    形式如上AAA阵称为友矩阵，若状态方程中的A,bA,bA,b具有这种形式，称为可控标准型；
    
    当G(s)=bn+N(s)D(s)G(s)=b_n+\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}G(s)=bn+D(s)N(s)时，A,bA,bA,b不变，y=cx+bnuy=cx+b_nuy=cx+bnu；
    
    N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)串联分解时系统的可控标准型状态变量图如下图所示：
    
    当bn=0b_n=0bn=0时，选取状态变量：
    {xn=yxi=x˙i+1+aiy−biu;i=1,2,…,n−1(26)\begin{cases} &x_n=y\\ &x_i=\dot{x}_{i+1}+a_iy-b_iu;i=1,2,\dots,n-1 \end{cases}\tag{26} {xn=yxi=x˙i+1+aiy−biu;i=1,2,…,n−1(26)
    则系统的A,b,cA,b,cA,b,c矩阵为：
    A=[00…0−a010…0−a101…0−a2⋮⋮⋮⋮00…1−an−1],b=[β0β1β2⋮βn−1],c=[000…1](27)A= \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -a_0\\ 1 & 0 & \dots & 0 & -a_1\\ 0 & 1 & \dots & 0 & -a_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & 1 & -a_{n-1} \end{bmatrix}, b= \begin{bmatrix} \beta_0\\ \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_{n-1} \end{bmatrix}, c= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \dots & 1 \end{bmatrix}\tag{27} A=⎣⎡010⋮0001⋮0…………000⋮1−a0−a1−a2⋮−an−1⎦⎤,b=⎣⎡β0β1β2⋮βn−1⎦⎤,c=[000…1](27)
    若动态方程中的A,cA,cA,c具有这种形式称为可观测标准型；
    
    可控标准型与可观测标准型的各矩阵间的关系：
    Ac=AoT,bc=coT,cc=boT(28)A_c=A_o^T,b_c=c_o^T,c_c=b_o^T\tag{28} Ac=AoT,bc=coT,cc=boT(28)
    其中：下标ccc表示可控标准型；ooo表示可观测标准型；TTT为转置符号；
    
    实例分析：
    
    Example3： 设二阶系统微分方程为：
    y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u\ddot{y}+2\zeta\omega\dot{y}+\omega^2y=T\dot{u}+u y¨+2ζωy˙+ω2y=Tu˙+u
    列写系统的可控标准型、可观测标准型动态方程，确定状态变量与输入、输出量的关系；
    
    解：
    
    系统的传递函数为：
    G(s)=Y(s)U(s)=Ts+1s2+2ζωs+ω2G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{Ts+1}{s^2+2\zeta\omega{s}+\omega^2} G(s)=U(s)Y(s)=s2+2ζωs+ω2Ts+1
    可控标准型动态方程的各矩阵为：
    xc=[xc1xc2],Ac=[01−ω2−2ζω],bc=[01],cc=[1T]x_c= \begin{bmatrix} x_{c1}\\ x_{c_2} \end{bmatrix}, A_c= \begin{bmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega \end{bmatrix}, b_c= \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix},c_c= \begin{bmatrix} 1 & T \end{bmatrix} xc=[xc1xc2],Ac=[0−ω21−2ζω],bc=[01],cc=[1T]
    由G(s)G(s)G(s)串联分解并引入中间变量zzz有：
    z¨+2ζωz˙+ω2z=u，y=Tz˙+z\ddot{z}+2\zeta\omega\dot{z}+\omega^2{z}=u，y=T\dot{z}+z z¨+2ζωz˙+ω2z=u，y=Tz˙+z
    对yyy求导数并考虑上述关系式，可得：
    y˙=Tz¨+z˙=(1−2ζωT)z˙−ω2Tz+Tu\dot{y}=T\ddot{z}+\dot{z}=(1-2\zeta\omega{T})\dot{z}-\omega^2Tz+Tu y˙=Tz¨+z˙=(1−2ζωT)z˙−ω2Tz+Tu
    令xc1=z,xc2=z˙x_{c1}=z,x_{c2}=\dot{z}xc1=z,xc2=z˙，可导出状态变量与输入、输出关系：
    {xc1=[−Ty˙+(1−2ζωT)y+T2u]/(1−2ζωT+ω2T2)xc2=(y˙+ω2Ty−Tu)/(1−2ζωT+ω2T2)\begin{cases} &x_{c1}=[-T\dot{y}+(1-2\zeta\omega{T})y+T^2u]/(1-2\zeta\omega{T}+\omega^2T^2)\\ &x_{c2}=(\dot{y}+\omega^2Ty-Tu)/(1-2\zeta\omega{T}+\omega^2T^2) \end{cases} {xc1=[−Ty˙+(1−2ζωT)y+T2u]/(1−2ζωT+ω2T2)xc2=(y˙+ω2Ty−Tu)/(1−2ζωT+ω2T2)
    可观测标准型动态方程各矩阵为：
    xo=[xo1xo2],Ao=[0−ω21−2ζω],bo=[1T],co=[01]x_o= \begin{bmatrix} x_{o1}\\ x_{o2} \end{bmatrix}, A_o= \begin{bmatrix} 0 & -\omega^2\\ 1 & -2\zeta\omega \end{bmatrix}, b_o= \begin{bmatrix} 1\\ T \end{bmatrix}, c_o= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} xo=[xo1xo2],Ao=[01−ω2−2ζω],bo=[1T],co=[01]
    状态变量与输入、输出量的关系：
    {xo1=y˙+2ζωy−Tuxo2=y\begin{cases} &x_{o1}=\dot{y}+2\zeta\omega{y}-Tu\\ &x_{o2}=y \end{cases} {xo1=y˙+2ζωy−Tuxo2=y
    系统可控标准型与可观测标准型状态变量图：
  2. N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)只含有单实极点情况。
    
    当N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)只含单实极点时，可以化为可控标准型或可观测标准型动态方程外，还可化为对角型动态方程，其AAA阵是一个对角阵；
    
    设D(s)D(s)D(s)可分解为：
    D(s)=(s−λ1)(s−λ2)…(s−λn)(29)D(s)=(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)\dots(s-\lambda_n)\tag{29} D(s)=(s−λ1)(s−λ2)…(s−λn)(29)
    其中：λ1,λ2,…,λn\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_nλ1,λ2,…,λn为系统的单实极点，则传递函数展成部分分式之和：
    Y(s)U(s)=N(s)D(s)=∑i=1ncis−λi(30)\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\sum_{i=1}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i}\tag{30} U(s)Y(s)=D(s)N(s)=i=1∑ns−λici(30)
    其中：ci=[N(s)D(s)(s−λi)]∣s=λic_i=\left.\left[\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}(s-\lambda_i)\right]\right|_{s=\lambda_i}ci=[D(s)N(s)(s−λi)]∣∣s=λi为N(s)D(s)\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)在极点λi\lambda_iλi处的留数，且有：
    Y(s)=∑i=1ncis−λiU(s)Y(s)=\sum_{i=1}^n\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s) Y(s)=i=1∑ns−λiciU(s)
    令状态变量为：
    Xi(s)=1s−λiU(s);i=1,2,…,n(31)X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\dots,n\tag{31} Xi(s)=s−λi1U(s);i=1,2,…,n(31)
    反变换结果：
    x˙i(t)=λixi(t)+u(t),y(t)=∑i=1ncixi(t)(32)\dot{x}_i(t)=\lambda_ix_i(t)+u(t),y(t)=\sum_{i=1}^nc_ix_i(t)\tag{32} x˙i(t)=λixi(t)+u(t),y(t)=i=1∑ncixi(t)(32)
    向量-矩阵形式为：
    [x˙1x˙2⋮x˙n]=[λ1λ2…λn][x1x2⋮xn]+[11⋮1]u,y=[c1c2…cn][x1x2⋮xn](33)\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1& & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \dots &\\ & & &\lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots\\1\end{bmatrix}u, y= \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \dots & c_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}\tag{33} ⎣⎡x˙1x˙2⋮x˙n⎦⎤=⎣⎡λ1λ2…λn⎦⎤⎣⎡x1x2⋮xn⎦⎤+⎣⎡11⋮1⎦⎤u,y=[c1c2…cn]⎣⎡x1x2⋮xn⎦⎤(33)
    状态变量图如下图所示：
    
    若令状态变量：
    Xi(s)=cis−λiU(s);i=1,2,…,n(34)X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s);i=1,2,\dots,n\tag{34} Xi(s)=s−λiciU(s);i=1,2,…,n(34)
    则：
    Y(s)=∑i=1nXi(s)(35)Y(s)=\sum_{i=1}^nX_i(s)\tag{35} Y(s)=i=1∑nXi(s)(35)
    向量-矩阵形式为：
    [x˙1x˙2⋮x˙n]=[λ1λ2…λn][x1x2⋮xn]+[c1c2⋮cn]u,y=[11…1][x1x2⋮xn](36)\begin{bmatrix} \dot{x}_1\\ \dot{x}_2\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1& & &\\ &\lambda_2 & &\\ & & \dots &\\ & & &\lambda_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}u, y= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}\tag{36} ⎣⎡x˙1x˙2⋮x˙n⎦⎤=⎣⎡λ1λ2…λn⎦⎤⎣⎡x1x2⋮xn⎦⎤+⎣⎡c1c2⋮cn⎦⎤u,y=[11…1]⎣⎡x1x2⋮xn⎦⎤(36)
    状态变量图如下图所示：
  3. N(s)D(s)\displaystyle\frac{N(s)}{D(s)}D(s)N(s)含重实极点时的情况
    
    当传递函数除含单实极点外，还含有重实极点时，不仅可化为可控、可观测标准型，还可化为约当标准型动态方程，其AAA阵是一个含有约当块的矩阵。
    
    设D(s)D(s)D(s)可分解为：
    D(s)=(s−λ1)3(s−λ4)…(s−λn)(37)D(s)=(s-\lambda_1)^3(s-\lambda_4)\dots(s-\lambda_n)\tag{37} D(s)=(s−λ1)3(s−λ4)…(s−λn)(37)
    式中，λ1\lambda_1λ1为三重实极点；λ4,…,λn\lambda_4,\dots,\lambda_nλ4,…,λn为单实极点，则传递函数可展成下列部分分式之和；
    Y(s)U(s)=N(s)D(s)=c11(s−λ1)3+c12(s−λ1)2+c13(s−λ1)+∑i=4ncis−λi(38)\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{c_{11}}{(s-\lambda_1)^3}+\frac{c_{12}}{(s-\lambda_1)^2}+\frac{c_{13}}{(s-\lambda_1)}+\sum_{i=4}^{n}\frac{c_i}{s-\lambda_i}\tag{38} U(s)Y(s)=D(s)N(s)=(s−λ1)3c11+(s−λ1)2c12+(s−λ1)c13+i=4∑ns−λici(38)
    状态变量分别选取：
    Xi(s)=1s−λiU(s)和Xi(s)=cis−λiU(s)X_i(s)=\frac{1}{s-\lambda_i}U(s)和X_i(s)=\frac{c_i}{s-\lambda_i}U(s) Xi(s)=s−λi1U(s)和Xi(s)=s−λiciU(s)
    可得向量-矩阵形式动态方程为：
    [x˙11x˙12x˙13x˙4⋮x˙n]=[λ11λ11λ1λ4⋱λn][x11x12x13x4⋮xn]+[0011⋮1]u(39)\begin{bmatrix} \dot{x}_{11}\\ \dot{x}_{12}\\ \dot{x}_{13}\\ \dot{x}_{4}\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1 & & & \\ &\lambda_1 & 1\\ &&\lambda_1\\ &&&\lambda_4\\ &&&&\ddots\\ &&&&&\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 1\\ \vdots\\ 1 \end{bmatrix}u\tag{39} ⎣⎡x˙11x˙12x˙13x˙4⋮x˙n⎦⎤=⎣⎡λ11λ11λ1λ4⋱λn⎦⎤⎣⎡x11x12x13x4⋮xn⎦⎤+⎣⎡0011⋮1⎦⎤u(39)
    
    y=[c11c12c13c4…cn]y=\begin{bmatrix}c_{11} & c_{12} & c_{13} & c_4 & \dots & c_n\end{bmatrix} y=[c11c12c13c4…cn]
    
    可控约当型动态方程状态变量图如下图所示：
    
    [x˙11x˙12x˙13x˙4⋮x˙n]=[λ11λ11λ1λ4⋱λn][x11x12x13x4⋮xn]+[c11c12c13c4⋮cn]u(40)\begin{bmatrix} \dot{x}_{11}\\ \dot{x}_{12}\\ \dot{x}_{13}\\ \dot{x}_{4}\\ \vdots\\ \dot{x}_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \lambda_1 & & & & \\ 1&\lambda_1 &\\ &1&\lambda_1\\ &&&\lambda_4\\ &&&&\ddots\\ &&&&&\lambda_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{11}\\ x_{12}\\ x_{13}\\ x_4\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} c_{11}\\ c_{12}\\ c_{13}\\ c_4\\ \vdots\\ c_n \end{bmatrix}u\tag{40} ⎣⎡x˙11x˙12x˙13x˙4⋮x˙n⎦⎤=⎣⎡λ11λ11λ1λ4⋱λn⎦⎤⎣⎡x11x12x13x4⋮xn⎦⎤+⎣⎡c11c12c13c4⋮cn⎦⎤u(40)
    
    y=[0011…1]xy=\begin{bmatrix}0 & 0 & 1 & 1 & \dots & 1\end{bmatrix}x y=[0011…1]x
    
    可观约当型动态方程状态变量图如下图所示：

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