浅谈图形软件中直线和曲线的基本构成（下）

这篇又拖了下，主要是动图一直没心情做，现在放假了才把它给补好，让大家久等了。

上篇中我们提到，对于图形软件来说，存储一根线，端点信息几乎成为了必要的组成部分。为此，不同的图形软件各显神通，让不同类型的曲线都满足上述条件。

其中，Adobe系列的产品用三次贝塞尔曲线进行拟合，而其算法相信大家都能很轻易地给搜索出来。相反，用圆弧去拟合贝塞尔曲线的文章却反倒不多见。以前我感到很困惑，圆弧不是更简单么？为什么更多的人喜欢反向拟合？如今，我做过图形编辑功能，就彻底明白了。

如上篇所言，贝塞尔曲线对生产并不友好，所以AutoCAD发明了另外一套曲线体系，谓之多段线。这个词虽然我个人不太喜欢，但它却把这种线支持首尾相接的特性给很好地体现出来。

为了让不懂CAD的朋友理解起来更方便，后面我会把它称作圆弧直线。

在这种线条中，不管它是圆弧还是直线，AutoCAD都会存储它的起点和终点。

然后为了确定最终的曲线形状，我们可以加入第3个点，当这个点在线段SE上时，曲线为直线，否则为圆弧。

这样看起来整个体系很完美了，但仔细思考一下会发现，同一条曲线，满足条件的“控制点”有无数个。如下图，弧线上任一位置的点确定的都是同一条圆弧。

像这种一个值对应多个解的情况，用到实际中并不方便。我们知道，SE两点确定下来之后，其圆心一定在SE的垂直平分线上。

所以我们完全可以改用一个纯数字的变量来描述它，比如圆心到连线的距离，距离为0时为直线，其它距离为圆弧，距离可以设定为有向，这样的话就可以让距离相等但不同侧的圆心也能有所区分。

AutoCAD别出心裁地为这一特性定制了一个变量，叫凸度（bulge），它等于圆弧的与圆心角的1/4的正切值

bulge=tan(angle/4)

这个定义可谓非常巧妙，我们知道正切值在0~pi/2区间是单调递增，并且值域为0到无穷大。然后圆心角的取值范围为0到2pi，除以4刚好让正切值既包含所有正数，又随着凸度的增大而增大。（事实上，只有当起点和终点完全重合，凸度才可以是无穷大）。

而另一个巧妙的地方，则是当圆弧为半圆的时候，其拱形的高度刚好等于半径，而此时的bulge=tan(pi/4)=1，跟我们半圆凸度为1的主观理解不谋而合。

凸度也有正负的定义，一般而言，当圆弧从起点到终点的旋转方向为正向（即y轴向上的坐标系下逆时针旋转）时定义为正，反之则定义为负。当凸度为0时，曲线为直线。

凸度为0时变为直线可以通过下面的动图来理解：当弧线慢慢趋于平直的时候，圆心到连线的距离越来越大，并且起点和终点跟圆心连线的夹角也越来越小。当弧线变平，起点和终点跟“圆心”的连线变成平行，夹角为0。

这种圆弧直线可以把图形软件和生产工具的冲突给很好的调和起来，可谓是图形界的一大创举。美中不足的是，它不支持非等比缩放（直线的情况除外），因为非等比缩放会把圆弧变成椭圆弧，而目前业界尚没有通过存储端点的方式来描述椭圆，所以在AutoCAD里面，这种线只能做等比缩放。

而贝塞尔曲线的弹性则强很多，不管如何，我们只要把端点和控制点进行缩放，得到的新曲线也正好是原曲线不等比缩放的结果。因此对于图形软件来说，贝塞尔曲线仍然是首选。

介绍完了圆弧直线这样的一个知识背景后，我们将重新回到微积分系列的教程当中。

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