【數論】【搜索】【SCOI2009】遊戲

Description
windy学会了一种游戏。对于1到N这N个数字，都有唯一且不同的1到N的数字与之对应。最开始windy把数字按顺序1，2，3，……，N写一排在纸上。然后再在这一排下面写上它们对应的数字。然后又在新的一排下面写上它们对应的数字。如此反复，直到序列再次变为1，2，3，……，N。 如： 1 2 3 4 5 6 对应的关系为 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6 windy的操作如下 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 6 3 1 2 4 5 6 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6 3 1 2 5 4 6 1 2 3 4 5 6 这时，我们就有若干排1到N的排列，上例中有7排。现在windy想知道，对于所有可能的对应关系，有多少种可能的排数。
Input
包含一个整数，N。
Output
包含一个整数，可能的排数。
Sample Input
【输入样例一】
3【输入样例二】
10Sample Output
【输出样例一】
3【输出样例二】
16【数据规模和约定】
30%的数据，满足 1 <= N <= 10 。
100%的数据，满足 1 <= N <= 1000 。

這是一道數論+記憶化搜索的題目。

遠問題可以轉化為一下問題：
已知a1+a2+a3+...+am = N，求Lcm(a1, a2, a3, ..., am)的所有可能性。

做法如下：枚舉從1到n之間的所有素數，再枚舉每個素數的方冪。由唯一分解定理可知，所枚舉的每一個不同的對象，都對應一個不同的解，再將這些解累加即可。

由於數據較大，必須使用記憶化搜索，並且要用64位整型。
Accode：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using std::cin;
using std::cout;
typedef long long int64;
const int maxN = 1010;
const int maxM = 210;int prime[210];
int64 f[210][1010];
int n;inline void mkprime(int Lim)
{prime[0] = 2; prime[1] = 3; prime[2] = 5;int Last = 7;for (int i = 3; Last <= Lim; ++i, ++Last)for (; ; ++Last){bool flag = true;for (int j = 0; prime[j]* prime[j] <= Last; ++j)if (Last % prime[j] == 0){flag = false;break;}if (flag){prime[i] = Last;break;}}
} //製作一張素數表。int64 Find(int i, int n)
{if (prime[i] == -1 || prime[i] > n)//處理邊界。return f[i][n] = 1;if (f[i][n] > -1) return f[i][n];//記憶化搜索。f[i][n] = 0;for (int tmp = prime[i];tmp <= n; tmp *= prime[i])f[i][n] += Find(i + 1, n - tmp);//該素數被選，則枚舉它的次數。return f[i][n] += Find(i + 1, n);//統計該素數未被選的情況。
}int main()
{freopen("game.in", "r", stdin);freopen("game.out", "w", stdout);cin >> n;memset(f, 0xff, sizeof(f));memset(prime, 0xff, sizeof(prime));mkprime(n);cout << Find(0, n);return 0;
}

第二次做，改进递推版，并且加上就地滚动，速度更快。

#include <fstream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>typedef long long int64;
const int maxP = 200;
const int maxN = 1010;int64 f[maxN];
int prime[maxP];
int n, tot;bool is_prime(int x)
{for (int i = 0; prime[i]* prime[i] <= x; ++i)if (x % prime[i] == 0)return false;return true;
}void mkprime()
{prime[0] = 2;for (int i = 3; i < n + 1; ++i)if (is_prime(i))prime[++tot] = i;return;
}int main()
{std::ifstream cin("game.in");cin >> n;cin.close();mkprime();for (int j = 0; j < n + 1; ++j)f[j] = 1;for (int i = 0; i < tot + 1; ++i)for (int j = n; j > -1; --j)for (int k = prime[i];k <= j; k *= prime[i])f[j] += f[j - k];std::ofstream cout("game.out");cout << f[n] << std::endl;cout.close();return 0;
}

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