1. 走最远

题目：
一个车队有5辆同样的汽车，每辆车上装满的油能使汽车前进480千米，车子之间可以互相加油，现在5辆车同时出发，怎样安排能使其中一辆车走的最远，最远走多远？

如果只有两辆车：
假设行驶x里，首先x里必定要大于480km的一半才行，否则多余的油就浪费了。
行驶里程：（ 480 − x ） ∗ 2 + x = 960 − x ， x > = 240 （480-x）*2+x=960-x，x>=240 （480−x）∗2+x=960−x，x>=240，故取 x = 1 2 x=\frac{1}{2} x=21。
也就是是先行驶1/2后，再将剩余1/2的油输入给另一辆。

这道题隐藏的信息是：

不能浪费多余的油。
同时k辆车行驶，行驶距离越多，同时消耗的是k辆车的油。

所以要保证，不能浪费油的同时，k辆车行驶的距离越少。也就是慢慢减少车的并行数量。

所以，5辆车并行的时候，跑1/5的油，然后用4/5的油给其余4辆加满。
4辆车并行的时候，跑1/4的油，然后用3/4的油给其余3辆加满。
…

公式为： 480 ∗ ( 1 5 + 1 4 + 1 3 + 1 2 + 1 ) = 1096 480*(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+1)=1096 480∗(51+41+31+21+1)=1096

题目：
每个飞机只有一个油箱, 飞机之间可以相互加油(注意是相互,没有加油机) 一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈,问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场,至少需要出动几架飞机？(所有飞机从同一机场起飞,而且必须安全返回机场,不允许中途降落,中间没有飞机场)

这道题，相当于前面车还需要返回了，所以算上返回，刚好用完一飞机的油最佳。并且刚好能让另一个飞机的油加满。
考虑如果有两个飞机，能飞多远？假设油箱飞行距离是单位1，地球一圈距离是单位2。
1 − 2 x = x 1-2x=x 1−2x=x 即 x = 1 3 x=\frac{1}{3} x=31 所以，最终另一个飞机能飞1/3+1的单位。

现在的问题是出动几架飞机，假设k个飞机，那么：
1 − 2 x ∗ ( k − 1 ) = ( k − 1 ) x 1-2x*(k-1)=(k-1)x 1−2x∗(k−1)=(k−1)x 即 x = 1 3 ( k − 1 ) x=\frac{1}{3(k-1)} x=3(k−1)1
并且，之后的情况相当于是k-1个飞机再飞，所以最终：
1 3 ( k − 1 ) + 1 3 ( k − 2 ) + 1 k − 3 + . . . . + 1 3 + 1 = 2 \frac{1}{3(k-1)}+\frac{1}{3(k-2)}+\frac{1}{k-3}+....+\frac{1}{3}+1=2 3(k−1)1+3(k−2)1+k−31+....+31+1=2
带入数据计算出 k = 4 k=4 k=4

但是这道题有个难点，如果我不是原路返回，由于地球是圆的，过了半程后，反方向飞更省，如果考虑这个上面的公式就不对了，但是由于是取整，所以答案还是对的。

题目：
有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱。他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）。假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤…），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？

很明显，每次拖最多的水60kg，跑4趟，那么每次跑到哪呢？
y = x ∗ ( 60 − 2 x ) = 60 x − 2 x 2 y=x*(60-2x)=60x-2x^2 y=x∗(60−2x)=60x−2x2
求导可得 y ’ = 60 − 4 x = 0 y^’=60-4x=0 y’=60−4x=0，得 x = 15 x=15 x=15
所以在15km的时候取得最大值，即900-450=450
跑4趟，即4*450元

题目：
一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠,去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮 1000根胡萝卜,但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人共可卖出多少胡萝卜？

很明显这道题的逻辑和前面两个不同，因为一次性是无法穿越沙漠的（即使穿越了也不剩胡萝卜了），所以唯一可能的方法就是在中途卸下胡萝卜，采用接力的方式穿越沙漠，那么这个存档点的距离就需要计算。

显然每次回到原点都要拿1000根。
因为驴一次最多驮1000根，所以为了最大化，在第一次卸下萝卜的地点刚好使用1000根即可。设驴走X公里第一次卸下萝卜（3次都要经过x公里，其中前两次还有返回）：5x=1000，x=200

同理，第二次休息的地点也可以刚好使用1000:
3y=1000，y=333.3

而此时总共走了：200+333.3=533.3公里,而剩下的466.7公里只需要吃466根萝卜
所以可以卖萝卜的数量就是1000-466=534.

2. 最短时间过河

题目：
过河一个晚上,四个人想要通过桥过河去,A通过桥最快要10分钟,B要5分钟,C要2分钟,D要1分钟,可是他们只有一个手电筒,每次最多只能有两个人一起过河,要在17分钟内过河,该怎么过呢?

这道题的隐藏信息是：

需要让走的最快的人多走几次，走的慢的人少走几次（最好只走一次）。

故：
CD过河，D回来；AB过河，C回来；CD再次过河。
2+1+10+2+2=17分钟。

3. 烧绳子

题目：
（1）烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时？
（2）烧一根不均匀的绳，从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子，问如何用烧绳的方法来计时四十五分钟？如何计时一个小时十五分钟呢?

这道题突破口是绳子应该怎么使用，要知道如果单纯用来烧，是无法产生差额的，那么怎么才能产生差额呢？两边同时烧。

我们来看现在能产生的数据：

烧一根绳：60min
绳子两端同时烧：30min

产生了30分钟的差额，也就是：两根绳子，一根烧一端，另一根烧两端，能计时30分钟。

那么十五分钟怎么产生了？很明显30分钟的差额能够再次对半：

两根绳子，一根烧一端

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1. 走最远

2. 最短时间过河

3. 烧绳子

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