命题

主子式大于等于零的实对称矩阵是半正定矩阵。
即：对于任意的 n∈N+,n \in \mathbb N ^+, 对于任意一个实对称矩阵 An×n,A_{n \times n}, 若它的的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 则 X⊺AX≥0,∀X∈RnX ^ \intercal A X \ge 0, \forall X \in \mathbb R ^n 。

证明

n=1n = 1 时，对于任意一个实对称矩阵 A1×1,A_{1 \times 1}, a11=|A|≥0,a_{11} = \left \vert A \right \vert \ge 0, 因此 a11x2≥0,∀x∈Ra_{11} x ^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb R 。命题成立。
假设 nn 时命题成立。则 n+1n + 1 时，
记 A=(A1α⊺αan+1,n+1),A = \begin{pmatrix} A_1 & \alpha \\ \alpha ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix},
An+1×n+1A_{n + 1 \times n + 1} 的任意一个主子式 ≥0,\ge 0, 因此 an+1,n+1≥0a_{n + 1, n + 1} \ge 0 。
若 an+1,n+1=0,a_{n + 1, n + 1} = 0, 则对于任意的 i∈N,1≤i<n+1,i \in \mathbb N, 1 \le i \lt n + 1,
∣∣∣ai,ian+1,iai,n+1an+1,n+1∣∣∣=ai,ian+1,n+1−ai,n+1an+1,i=−ai,n+12, \begin{vmatrix} a_{i,i} & a_{i,n + 1} \\ a_{n + 1,i} & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} = a_{i,i} a_{n + 1,n + 1} - a_{i,n + 1} a_{n + 1,i} = -{a_{i,n + 1} }^2,
由于 ∣∣∣ai,ian+1,iai,n+1an+1,n+1∣∣∣≥0, \begin{vmatrix} a_{i,i} & a_{i,n + 1} \\ a_{n + 1,i} & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} \ge 0, 因此 ai,n+1=an+1,i=0, a_{i,n + 1} = a_{n + 1, i} =0, 于是 A=(A10⃗ ⊺0⃗ 0),A = \begin{pmatrix} A_1 & \vec 0 \\ {\vec 0} ^ {\intercal} & 0 \end{pmatrix},
令 X=(X1xn+1)∈Rn+1,X = \begin{pmatrix} X_1 \\ x_{n + 1} \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{n + 1}, 则 X⊺AX=(X1⊺xn+1)(A10⃗ ⊺0⃗ 0)(X1xn+1)=X1⊺A1X1,X ^ {\intercal} A X = \begin{pmatrix} {X_1} ^ {\intercal} & x_{n + 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 & \vec 0 \\ {\vec 0} ^ {\intercal} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ x_{n + 1} \end{pmatrix} = {X_1} ^ {\intercal} A_1 {X_1} ,
由归纳假设，X1⊺A1X1≥0, {X_1} ^ {\intercal} A_1 {X_1} \ge 0, 因此命题成立。
若 an+1,n+1>0,a_{n + 1, n + 1} \gt 0, 则
令 P=(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1),P = \begin{pmatrix} E & \vec 0 \\ - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha ^ {\intercal} & 1 \end{pmatrix},
则 P⊺APP ^ {\intercal} AP
=(E0⃗ ⊺−an+1,n+1−1α1)(A1α⊺αan+1,n+1)(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1)= \begin{pmatrix} E & - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha \\ \vec 0 ^ {\intercal} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1 & \alpha \\ \alpha ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & \vec 0 \\ - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha ^ {\intercal} & 1 \end{pmatrix}
=(A1−an+1,n+1−1αα⊺α⊺0⃗ an+1,n+1)(E−an+1,n+1−1α⊺0⃗ 1)= \begin{pmatrix} A_1- {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha \alpha ^ {\intercal} & \vec 0 \\ \alpha ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E & \vec 0 \\ - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha ^ {\intercal} & 1 \end{pmatrix}
=(A1−an+1,n+1−1αα⊺0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)= \begin{pmatrix} A_1- {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha \alpha ^ {\intercal} & \vec 0 \\ \vec 0 ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix}
令 B=A1−an+1,n+1−1αα⊺,B = A_1- {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha \alpha ^ {\intercal} , 则 P⊺AP=(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)P ^ {\intercal} AP = \begin{pmatrix} B & \vec 0 \\ \vec 0 ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix}
对于 BB 的任意一个主子式 B′k×k,B'_{k \times k}, 设 BB 中与 B′B' 对应的行号为 n1,⋯,nk,{n}_1, \cdots, {n}_k,
令 A1′=⎛⎝⎜⎜an1,n1⋮ank,n1⋯⋱⋯an1,nk⋮ank,nk⎞⎠⎟⎟k×k,α′=⎛⎝⎜⎜an1,n+1⋮ank,n+1⎞⎠⎟⎟k×1,{A_1} ' = \begin{pmatrix} a_{{n}_1, {n}_1} & \cdots & a_{{n}_1,{n}_k}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{{n}_k, {n}_1} & \cdots & a_{{n}_k, {n}_k} \end{pmatrix} _{k \times k}, \alpha' = \begin{pmatrix} a_{{n}_1, n + 1} \\ \vdots \\ a_{{n}_k, n + 1} \end{pmatrix} _{k \times 1},
则 B′=A′1−an+1,n+1−1α′α′⊺,B' = A_1' - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha' \alpha' ^ {\intercal} ,
令 A′=(A′1α′⊺α′an+1,n+1),Q=(Ek×k−an+1,n+1−1α′⊺0⃗ 1),A' =\begin{pmatrix} A_1' & \alpha' \\ \alpha' ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} , Q = \begin{pmatrix} E_{k \times k} & \vec 0 \\ - {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha' ^ {\intercal} & 1 \end{pmatrix}, 则
Q⊺A′QQ ^ {\intercal} A' Q
=(A′1−an+1,n+1−1α′α′⊺0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)=(B′0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)= \begin{pmatrix} A_1'- {a_{n + 1, n + 1} }^{-1} \alpha' \alpha' ^ \intercal & \vec 0 \\ \vec 0 ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B' & \vec 0 \\ \vec 0 ^ \intercal & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix}
由于 A′=(A′1α′⊺α′an+1,n+1)=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜an1,n1⋮ank,n1an+1,n1⋯⋱⋯⋯an1,nk⋮ank,nkan+1,nkan1,n+1⋮ank,n+1an+1,n+1⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟(k+1)×(k+1)A' = \begin{pmatrix} A_1' & \alpha' \\ \alpha' ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{{n}_1, {n}_1} & \cdots & a_{{n}_1,{n}_k} & a_{n_1, n + 1}\\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{{n}_k, {n}_1} & \cdots & a_{{n}_k, {n}_k} & a_{n_k, n + 1} \\ a_{{n + 1}, n_1} & \cdots & a_{{n + 1}, n_k} & a_{n + 1, n + 1} \end{pmatrix} _{(k + 1) \times (k + 1)}
是 AA 的一个主子式，因此 |A′|≥0,\vert A' \vert \ge 0,
又 |A′|=|Q|2|A′|=|Q⊺A′Q|=∣∣∣B′0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1∣∣∣=an+1,n+1|B′|,\vert A' \vert = \vert Q \vert ^2 \vert A' \vert = \vert Q ^ {\intercal} A' Q \vert = \begin{vmatrix} B' & \vec 0 \\ \vec 0 ^ \intercal & a_{n + 1,n + 1} \end{vmatrix} = a_{n + 1,n + 1} \vert B' \vert ,
因此 |B′|≥0, \vert B' \vert \ge 0, 故 BB 的任意一个主子式 ≥0, \ge 0, 由归纳假设，X⊺BX≥0,∀X∈RnX ^ \intercal B X \ge 0, \forall X \in \mathbb R ^{n}

因此对于任意的 X=(X1xn+1)∈Rn+1,X = \begin{pmatrix} X_1 \\ x_{n + 1} \end{pmatrix} \in \mathbb R ^{n + 1},
X⊺(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)X=(X1⊺xn+1)(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1)(X1xn+1)=X1⊺BX1+an+1,n+1xn+12≥0,X ^ {\intercal} \begin{pmatrix} B & \vec 0 \\ \vec 0 ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix} X = \begin{pmatrix} {X_1} ^ {\intercal} & x_{n + 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B & \vec 0 \\ {\vec 0} ^ {\intercal} & a_{n + 1, n + 1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_1 \\ x_{n + 1} \end{pmatrix} = {X_1} ^ {\intercal} B {X_1} + a_{n + 1,n + 1} {x_{n + 1}} ^2 \ge 0,
由于 P⊺AP=(B0⃗ ⊺0⃗ an+1,n+1),P ^ {\intercal} AP = \begin{pmatrix} B & \vec 0 \\ \vec 0 ^ {\intercal} & a_{n + 1,n + 1} \end{pmatrix}, 因此 A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-61">A</script> 也是半正定矩阵。
因此命题成立。

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