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矩阵的半张量积_一个便捷的新工具.pdf11页

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2011 年 第 56 卷 第 32 期：2664 ~ 2674 《中国科学》杂志社

特邀评述 SCIENCE CHINA PRESS

矩阵的半张量积: 一个便捷的新工具

程代展, 赵寅

中国科学院数学与系统科学研究院系统科学研究所, 北京 100190

E-mail: dcheng@

2011-06-26 收稿, 2011-08-17 接受

摘要 矩阵的半张量积是一种新的矩阵乘法. 它将普通矩阵乘法推广到前阵列数与后阵行数 关键词

不等的情况. 推广后的乘法不仅保持了原矩阵乘法的主要性质, 而且, 具有伪交换性等比推广 半张量积

前更好的性质. 因此, 这是一个便捷而有力的新的数学工具. 在简单介绍它的历史、定义和主 动态系统

要性质之后, 本文对半张量积的本质及其优越性进行了分析, 从而揭示它的合理性及有效性. 布尔网络

李代数

接着, 着重介绍它在若干领域的应用. 包括(1) 非线性(控制) 系统的半张量积方法; (2) 布尔网

生物系统

络的结构分析与控制; (3) 半张量积在数学、物理中的其他应用. 最后, 本文对目前在研及可能

泛代数

突破的问题作了一个较详细的介绍, 并对其潜在应用前景作了展望.

矩阵论不仅在各数学学科, 同时也在许多自然 函数的矩阵表示成为一个无法绕行的瓶颈问题. 我

科学领域的分析和研究中发挥着重要作用. 在系统 们研究小组从 1997 年开始思考这个问题. 我们从高

与控制理论中更是如此, 这一点可以从黄琳院士著 维数据在计算机内的存储得到启示: 高维数据在计

作[1] 中看出. 此外, 矩阵还是数值计算的基础, 在计 算机内不必排成立方阵或更高维空间阵的形式, 它

算机时代, 它起着一种不可替代的核心作用. 但是, 们实际上只是排成一个长列. 那么, 它的层次结构如

矩阵也不是万能的. 熟悉线性代数的人都知道, 矩阵 何得到反映呢? C 语言比较反映问题的关键, 它实际

对处理一维数组(线性函数)和二维数组(双线性函数 上是用 “ 指针”, “指针的指针”, “指针的指针的指

或二次型)十分有效. 但在处理三维数组时, 直接使 针”··· 来标识数据的层次结构. 那么, 如果能找到一

用矩阵方法就很困难. 一个自然的想法就是把三维 种运算规则, 它能让每个数组变量自动找到它所对

数组摆成立方体. 立体阵的概念最早由 Bates 和 应的数据的层次的指针, 不就可以解决高维数据的

Watts 提出[2,3]. 随后, 文献[4]对其进行了初步整理, 排列问题了吗? 这就是矩阵半张量积的原始出发点.

1986 年我国学者韦博成在其基础上进行了系统的总 后来发现, 满足这个要求的矩阵乘法——矩阵半张量

结和扩充[5]. 文献[6]中有一个简明的综合介绍. 立体 积的定义极其简单而自然, 它完全掩盖了最初的动

阵在统计中得到一些成功的应用. 但由于它需要引 机和出发点, 而人们常常因其简单而忽略了它强烈

入许多新的运算规则, 使用起来不甚方便. 对于四维 的内在合理性. 读者不妨回头看看它和立

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