数学分析—集合与映射

有时候做项目往往是不走捷径，不采用最简单的方法，而是采用更加复杂的方法来突显任务量。

集合

x属于A：x∈Ax \in Ax∈A
A是B的子集：A⊂BA \subset BA⊂B
A是B的真子集：A⊊BA \subsetneq BA⊊B
A有2n2^n2n个子集，2n−12^n-12n−1个真子集
A在X中的补集：Ac=X−A=X＼A,A⊂XA^c = X - A = X＼A, A \subset XAc=X−A=X＼A,A⊂X或Ac={x∈X∣x∉A}A^c=\{x\in X|x\notin A\}Ac={x∈X∣x∈/A}
注：将半角换成全角，才可以输入反斜杠，CSDN的markdown还是存在问题

有限集：集合有有限个元素
如果无限集的元素可按规律排成一列，则称为可数集
无限集必有一个可数子集

A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}A \times B = \{(x,y)| x\in A, y\in B\}A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}

A⊂RA \subset RA⊂R
如果∃M∈A\exist M \in A∃M∈A，使得∀x∈A\forall x\in A∀x∈A，均有x≤Mx \leq Mx≤M，则称MMM为AAA的最大数
如果∃m∈A\exist m \in A∃m∈A，使得∀x∈A\forall x\in A∀x∈A，均有m≤xm \leq xm≤x，则称mmm为AAA的最小数
如果∃M∈R\exist M \in R∃M∈R，使得∀x∈A\forall x\in A∀x∈A，均有x≤Mx \leq Mx≤M，则称MMM为AAA的上界
如果∃M∈R\exist M \in R∃M∈R，使得∀x∈A\forall x\in A∀x∈A，均有m≤xm \leq xm≤x，则称mmm为AAA的下界
注：无限集，其最大（小）数可能不存在
注：有界数集，其上（下）界不唯一
确界定理：如果A有上界，则它有一个最小上界，称为上确界，记为sup⁡A\sup AsupA；如果A有下界，则它有一个最大上界，称为下确界，记为inf⁡A\inf AinfA

Newton二项式展开：(a+b)n=∑k=0nCnkakbn−k(a+b)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k a^k b^{n-k}(a+b)n=∑k=0nCnkakbn−k
三角不等式：∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣|a+b|\leq |a|+|b|∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣或∣a−b∣≤∣a−c∣+∣c−b∣|a-b|\leq |a-c|+|c-b|∣a−b∣≤∣a−c∣+∣c−b∣
Cauchy不等式：ab≤a2+b22ab \leq \frac{a^2 + b^2}{2}ab≤2a2+b2或ab≤(a+b2)2ab \leq (\frac{a + b}{2})^2ab≤(2a+b)2

ZZZ：整数的全体
Z+Z^+Z+：非负整数的全体
NNN：正整数的全体
QQQ：有理数的全体

映射

集合XXX到集合YYY的映射记作：
f:X→Y,y=f(x)f: X\rightarrow Y, y=f(x)f:X→Y,y=f(x)
或
f:X→Y,x→f(x)f: X\rightarrow Y, x\rightarrow f(x)f:X→Y,x→f(x)
其中，
y=f(x)y=f(x)y=f(x)为xxx在fff下的象
xxx为yyy的一个原象（逆象）
XXX为映射fff的定义域
f(X)f(X)f(X)为fff的象的全体组成的集合，f(X)f(X)f(X)为fff的值域
f(X)={f(x)∣x∈X},f(X)⊂Yf(X) = \{f(x)| x\in X \}, f(X) \subset Yf(X)={f(x)∣x∈X},f(X)⊂Y

单射：∀x1≠x2∈X\forall x_1 \neq x_2 \in X∀x1=x2∈X，均有f(x1)≠f(x2)f(x_1)\neq f(x_2)f(x1)=f(x2)，则称fff为单射
满射：∀y∈Y\forall y \in Y∀y∈Y，均有x∈Xx\in Xx∈X，使得y=f(x)y = f(x)y=f(x)，则称fff为满射
既是满射又是单射，则称fff为一一满射（一一映射，可逆映射）
如果fff是一一映射，则fff可逆（逆映射，反函数）

如果集合XXX为可数集，则f:X→Nf: X\rightarrow Nf:X→N为一一映射

复合映射：f∘g:X→Z,f∘g(x)=f(g(x)),x∈Xf\circ g: X\rightarrow Z, f \circ g(x) = f(g(x)), x\in Xf∘g:X→Z,f∘g(x)=f(g(x)),x∈X

用复合映射来描述映射可逆：
f:X→Yf: X\rightarrow Yf:X→Y可逆当且仅当存在g:Y→Xg: Y\rightarrow Xg:Y→X，使得f∘g=idY,g∘f=idXf \circ g = id_Y, g \circ f = id_Xf∘g=idY,g∘f=idX，其中，idX,idYid_X, id_YidX,idY为空间映射到自身的恒同映射
idX:X→X,idX(x)=xid_X: X\rightarrow X, id_X(x)=xidX:X→X,idX(x)=x
idY:Y→Y,idY(y)=yid_Y: Y\rightarrow Y, id_Y(y)=yidY:Y→Y,idY(y)=y

[1] 数学分析讲义 梅加强
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[6] https://wanweibaike.net/wiki-實數的構造

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