映射可以多对一吗_【高中数学集合与映射】（一）整数和有理数“一样多”？...

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从本期推送开始，我们将开启一个新的专题——集合与映射。集合是数学中非常基本的概念，同学们在中学阶段的学习中也有初步的了解，对集合的基本性质和交并运算都有所掌握。映射同样是基本的数学概念，我们天天打交道的函数就是映射的一种。本文将从集合与映射的相关概念出发，讨论一些同学们开脑洞时可能会考虑的问题：整数和偶数“谁多？”；整数和有理数“谁多？”；有理数和实数“谁多？”

首先，我们给出映射的相关定义：

直观地，我们可以这样理解。定义中的X和Y与函数的定义域和值域存在类似之处。例如函数y=x^2在x∈[-1,1]，y∈[0,1]上是一个满射，因为对任意的y总有定义域内的x来取到，但它不是一个单射——因为当x=±1时y=1。如果我们将X取为[0,1]，Y也取为[0,1]，那么这个映射将成为一个一一映射。

在熟悉了映射的相关概念后，我们将利用一一映射给出集合“对等(等势)”的定义：

下面我们通过一个例题解释一下这个概念。

A是二维平面内所有横纵坐标都为自然数的点阵集合(例如(1,1),(1,2)等等)，B是自然数集N，求证：A~B.

验证过程用到了算术基本定理，我们在之前的推送【高中数学·函数与导数】(十三)浅谈整零点问题中有涉及，可以参考。

对于只有有限个元素的有限集而言，集合的势就是其中元素的个数。集合{1,3}和{2,4}是等势的，也有着同样多的元素。对于包含无限个元素的集合，例如N,R等等，我们虽然不能说清楚其中有几个元素，但“势”的概念依然是适用的。其中值得注意的是，自然数集N和与它等势的集合称为可列集。这个名称刻画了集合中元素可以按对应关系以自然数次序排列起来的特点。可列集与有限集并称可数集。

也正是从这个意义上，整数和偶数“一样多”(构造一个整数集到偶数集的一一映射即可，读者自证不难)，整数和有理数“一样多”(化用上述例题的构造方法，再将有理数的普遍形式p/q对应到数组(p,q)即可，值得注意的是，一个可列集与一个有限集的并仍是可列集)，实数则比有理数“更多”。所谓“多”的概念都是建立在集合的势上的。

这里我们对最后一个命题给出证明。

之所以强调这个证明，是因为其中变换进制的处理和寻找反例排列的构造都是在竞赛题目中出现过的手段，比较有技巧性。这也是为数不多的一道综合了这两种技巧的题目。

作为补充的是，是否存在一个无限集，其基数介于N的基数和R的基数(也称连续基数c)之间？这是一个目前的公理体系中无法判断的命题。但一定存在基数较c更大的集合。如果我们问N的基数与R的基数间是否存在什么数量关系，答案是后者等于以前者为指数的二幂数。对这些问题感兴趣的同学可以自行探究集合论的相关知识。

下期

预告

本期推送中我们介绍了关于集合，尤其是无限集的初步知识。在下期推送中，我们将结合THUSAT(清华大学组织的选拔性考试)之前出过的一组题目，继续讲集合论的相关内容。

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