漫步最优化十八——点到集合的映射

疲倦的时候，有个人会陪你；\textbf{疲倦的时候，有个人会陪你；}
孤单的时候，有个人会想你。\textbf{孤单的时候，有个人会想你。}
我的小宝贝啊，\textbf{我的小宝贝啊，}
好想捏捏你的笑脸，\textbf{好想捏捏你的笑脸，}
让你知道你是最美的。\textbf{让你知道你是最美的。}
——畅宝宝的傻逼哥哥\quad\qquad\textbf{——畅宝宝的傻逼哥哥}

上篇博文中，我们将算法看成点到点的映射，对任意点 xk\textbf{x}_k，对应唯一的点 xk+1\textbf{x}_{k+1}。实际上，如果在某台电脑上实现某个算法，会存在问题。因为不同的人实现的方式不同，由于计算机四舍五入的误差，可能结果会不一样，因此将算法看成点到集合的映射是比较合适的。如果能够推导出算法的通用性质，那么对算法所有可能的实现都能满足。出于这个原因，后面的文章我们会用下面更加通用的算法定义。

定义1：\textbf{定义1：}对空间XX上的每个点x∈X\textbf{x}\in X都分配一个XX的子集，这样的算法是点到集合的映射。

根据这个定义，算法AA产生序列{xk}∞k\{\textbf{x}_k\}_k^{\infty}的方式是给任意初始点x0∈X\textbf{x}_0\in X分配一个XX的子集X1X_1，然后任意选择x1∈X1\textbf{x}_1\in X_1，给它分配集合X2⊂XX_2\subset X，如此进行下去，如图1所示。xk+1,xk\textbf{x}_{k+1},\textbf{x}_k之间的对应规则形式为

xk+1∈A(xk)

\textbf{x}_{k+1}\in A(\textbf{x}_k)

其中如果xk\textbf{x}_k是输入，那么A(xk)A(\textbf{x}_k)是所有可能输出构成的集合。

显然，上面的定义包含了算法所有可能的实现，它是基于相同数学结构的一类算法，我们可以用

xk+1=A(xk)+εq

\textbf{x}_{k+1}=A(\textbf{x}_k)+\varepsilon_q

来可视化点对集合算法的概念，其中εq\varepsilon_q是随机向量。因为定量误差取决于使用的算数运算以及所用计算机的精度，所以xk+1\textbf{x}_{k+1}的精确位置是未知的，但不管怎样，xk+1\textbf{x}_{k+1}是X<script type="math/tex" id="MathJax-Element-2120">X</script>某个小集合的元素。

图1

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