HDU 5411 CRB and Puzzle（矩阵快速幂+可达矩阵）

HDU 5411

题意：

Count the number of different patterns by counting the number of different paths of length at most m-1.

思路：

其实这类问题就是求：
S=I+A+A2+...+AmS=I+A+A^2+...+A^m
一般普适的计算方式是：

(AmS)=(AI0I)m∗(I0)

\left( \begin{array}{ccc} A^m\\ S\\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} A & 0\\ I & I\\ \end{array} \right)^m * \left( \begin{array}{ccc} I\\ 0\\ \end{array} \right)
这样做的好处是可以得到最后的矩阵S，然后求S的所有元素和即是答案-1（没统计 ∅\emptyset），不过这题n <= 50 ，矩阵大小可能会超过100*100，时间复杂度将达到 O(N3logM)O(N^3\log M)再加上数据有20组，会被卡常数TLE，但有一个办法就是将矩阵乘法的取模操作从最内层移到第二层（因为mod只有2015，也就是说矩阵最大元素只有2014，最内层的乘法加法操作不会爆int），可以进行一定常数优化，，刚好可以卡着时间AC（大概480ms）

但是这题并不需要我们求出最后的加和矩阵S，仅需要它的各项元素和即可，那么我们可以把这个矩阵简化成这样(假设邻接是个四阶矩阵)：

⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜11A1100001⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟m=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜a1a2Ama3a40000a5⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟

\left( \begin{array}{ccc}&&& &0\\&&&& 0\\&&A& &0\\&&&& 0\\ 1& 1&1&1&1\\ \end{array} \right)^m= \left( \begin{array}{ccc}&&& &0\\&&&& 0\\&&A^m& &0\\&&&& 0\\ a_1& a_2&a_3&a_4&a_5\\ \end{array} \right)
ans=∑ni=1aians=\sum_{i=1}^na_i
这样做就避免了空间的浪费，且保留下来了答案，当然这里初始矩阵的最下面一行1也可以放去最上层，最左层，最右层，因为是计算 AkA^k所有元素和，并无影响。
这种做法复杂度与之前一致，但因为矩阵大小降了近乎一半，耗时相对少了很多（大概93msAC）

代码：

方法1：

/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>using namespace std;#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;const int maxn = 100 + 5 ;
const int mod = 2015 ;
struct Matrix {int n , m ;int a[maxn][maxn] ;Matrix( int n , int m ){this->n = n ;this->m = m ;cls(a) ;}Matrix operator * ( const Matrix &tmp ){Matrix res( n , tmp.m ) ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){for( int j = 0 ; j < tmp.m ; j++ ){for( int k = 0 ; k < m ; k++ )res.a[i][j] += a[i][k] * tmp.a[k][j] ;if( res.a[i][j] > mod ) res.a[i][j] %= mod ;}}return res ;}
};void Matrix_print( Matrix x ){for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ){for( int j = 0 ; j < x.m ; j++ ){cout << x.a[i][j] << ' ';}cout << endl;}cout << endl ;
}
Matrix fast_pow( Matrix x , int n ){Matrix res( x.n , x.m ) ;for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ) res.a[i][i] = 1 ;while( n ){if( n & 1 )res = res * x ;n >>= 1 ;x = x * x ;}return res ;
}int main(){
//  freopen("input.txt","r",stdin);int t  ; cin >> t ;while( t-- ){int n , m ;cin >> n >> m ;Matrix G( 2 * n , 2 * n ) ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){int k ;scanf( "%d" , &k ) ;for( int j = 0 ; j < k ; j++ ){int tmp ;scanf( "%d" , &tmp ) ;G.a[i][tmp-1] = 1 ;}}for( int i = n ; i < 2 * n ; i++ ){G.a[i][i - n] = 1 ;G.a[i][i] = 1 ;}Matrix base( 2 * n , n ) ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ )base.a[i][i] = 1 ;G = fast_pow( G , m  );//Matrix_print( G ) ;base = G * base ;//Matrix_print( base ) ;int ans = 0 ;for( int i = n ; i < 2 * n ; i++ )for( int j = 0 ; j < n ; j++ )ans += base.a[i][j] ;cout << ( ans + 1 ) % mod << endl ;}return 0;
}

方法2：

/*
* @author FreeWifi_novicer
* language : C++/C
*/
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<queue>using namespace std;#define clr( x , y ) memset(x,y,sizeof(x))
#define cls( x ) memset(x,0,sizeof(x))
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long lint;
typedef long long ll;
typedef long long LL;const int maxn = 100 + 5 ;
const int mod = 2015 ;
struct Matrix {int n , m ;int a[maxn][maxn] ;Matrix( int n , int m ){this->n = n ;this->m = m ;cls(a) ;}Matrix operator * ( const Matrix &tmp ){Matrix res( n , tmp.m ) ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){for( int j = 0 ; j < tmp.m ; j++ ){for( int k = 0 ; k < m ; k++ )res.a[i][j] += a[i][k] * tmp.a[k][j] ;if( res.a[i][j] > mod ) res.a[i][j] %= mod ;}}return res ;}
};void Matrix_print( Matrix x ){for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ){for( int j = 0 ; j < x.m ; j++ ){cout << x.a[i][j] << ' ';}cout << endl;}cout << endl ;
}
Matrix fast_pow( Matrix x , int n ){Matrix res( x.n , x.m ) ;for( int i = 0 ; i < x.n ; i++ ) res.a[i][i] = 1 ;while( n ){if( n & 1 )res = res * x ;n >>= 1 ;x = x * x ;}return res ;
}int main(){
//  freopen("input.txt","r",stdin);int t  ; cin >> t ;while( t-- ){int n , m ;cin >> n >> m ;Matrix G( n + 1 , n + 1 ) ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ) G.a[n][i] = 1 ;for( int i = 0 ; i < n ; i++ ){int k ;scanf( "%d" , &k ) ;for( int j = 0 ; j < k ; j++ ){int tmp ;scanf( "%d" , &tmp ) ;G.a[i][tmp-1] = 1 ;}}//Matrix_print( G ) ;G = fast_pow( G , m );//Matrix_print( G ) ;int ans = 0 ;for( int i = 0 ; i <= n ; i++ )ans += G.a[n][i] ;cout << ( ans ) % mod << endl ;}return 0;
}