【NOIP2016提高组】蚯蚓
蚯蚓
题目背景
NOIP2016 提高组 Day2 T2
题目描述
本题中,我们将用符号 表示对 c 向下取整,例如:
蛐蛐国最近蚯蚓成灾了!隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法,蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。
蛐蛐国里现在共有 n 只蚯蚓(n为正整数)。每只蚯蚓拥有长度,我们设第 i 只蚯蚓的长度为 ai (i=1,2,... ,n),并保证所有的长度都是非负整数(即:可能存在长度为0的蚯蚓)。
每一秒,神刀手会在所有的蚯蚓中,准确地找到最长的那一只(如有多个则任选一个)将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 p(是满足 0<p<1 的有理数)决定,设这只蚯蚓长度为 x ,神刀手会将其切成两只长度分别为 的蚯蚓。特殊地,如果这两个数的其中一个等于 0 ,则这个长度为 0 的蚯蚓也会被保留。此外,除了刚刚产生的两只新蚯蚓,其余蚯蚓的长度都会增加 q(是一个非负整常数)。
蛐蛐国王知道这样不是长久之计,因为蚯蚓不仅会越来越多,还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物,但是救兵还需要 m 秒才能到来……(m为非负整数)
蛐蛐国王希望知道这 m 秒内的战况。具体来说,他希望知道:
- m 秒内,每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度(有 m 个数);
- m 秒后,所有蚯蚓的长度(有 n+m 个数)。
蛐蛐国王当然知道怎么做啦!但是他想考考你……
输入格式
第一行包含六个整数 n,m,q,u,v,t,其中:n,m,q 的意义见【问题描述】;u,v,t 均为正整数;你需要自己计算 p=u/v(保证 0<u<v);t 是输出参数,其含义将会在【输出格式】中解释。
第二行包含 n 个非负整数,为 a1,a2,... ,an,即初始时 n 只蚯蚓的长度。
同一行中相邻的两个数之间,恰好用一个空格隔开。
保证 1≤n≤10^5,0≤m≤7×10^6,0<u<v≤10^9,0≤q≤200,1≤t≤71,0≤ai≤10^8。
输出格式
第一行输出 个整数,按时间顺序,依次输出第 t 秒,第 2t 秒,第 3t 秒,……被切断蚯蚓(在被切断前)的长度。
第二行输出 个整数,输出 m 秒后蚯蚓的长度;需要按从大到小的顺序,依次输出排名第 t,第 2t,第 3t,……的长度。
同一行中相邻的两个数之间,恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出,你也应输出一个空行。
请阅读样例来更好地理解这个格式。
样例数据 1
输入
3 7 1 1 3 1
3 3 2
输出
3 4 4 4 5 5 6
6 6 6 5 5 4 4 3 2 2
样例数据 2
输入
3 7 1 1 3 2
3 3 2
输出
4 4 5
6 5 4 3 2
样例数据 3
输入
3 7 1 1 3 9
3 3 2
输出
2
备注
【样例1说明】
在神刀手到来前:3 只蚯蚓的长度为 3,3,2。
【样例2说明】
这个数据中只有 t=2 与上个数据不同。只需在每行都改为每两个数输出一个数即可。
虽然第一行最后有一个 6 没有被输出,但是第二行仍然要重新从第二个数再开始输出。
【样例3说明】
这个数据中只有 t=9 与上个数据不同。
注意第一行没有数要输出,但也要输出一个空行。
- 1 秒后:一只长度为 3 的蚯蚓被切成了两只长度分别为 1 和 2 的蚯蚓,其余蚯蚓的长度增加了 1 。最终 4 只蚯蚓的长度分别为 (1,2),4,3 。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断。
- 2 秒后:一只长度为 4 的蚯蚓被切成了 1 和 3 。5 只蚯蚓的长度分别为:2,3,(1,3),4 。
- 3 秒后:一只长度为 4 的蚯蚓被切断。6 只蚯蚓的长度分别为:3,4,2,4,(1,3)。
- 4 秒后:一只长度为 4 的蚯蚓被切断。7 只蚯蚓的长度分别为:4,(1,3),3,5,2,4。
- 5 秒后:一只长度为 5 的蚯蚓被切断。8 只蚯蚓的长度分别为:5,2,4,4,(1,4),3,5。
- 6秒后:一只长度为5的蚯蚓被切断。9只蚯蚓的长度分别为:(1,4),3,5,5,2,5,4,6。
- 7 秒后:一只长度为 6 的蚯蚓被切断。10只蚯蚓的长度分别为:2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。
所以,7 秒内被切断的蚯蚓的长度依次为 3,4,4,4,5,5,6。7 秒后,所有蚯蚓长度从大到小排序为 6,6,6,5,5,4,4,3,2,2。
【数据规模与约定】
测试点 1~3 满足 m=0。
测试点 4~7 满足 n,m≤1,000。
测试点 8~14 满足 q=0,其中测试点 8~9 还满足 m≤105。
测试点 15~18 满足 m≤3×105。
测试点 19~20 没有特殊的约定,参见原始的数据范围。
测试点 1~12,15~16 还满足 v≤2 ,这意味着 u,v 的唯一可能的取值是 u=1,v=2,即 p=0.5。这可能会对解决问题有特殊的帮助。
每个测试点的详细数据范围见下表。
题意:
初始时有个非负整数,进行次操作,每次依次:将其中最大的数移除,将剩下的每个数都增加,加入两个新数⌊⌋和-⌊⌋
没次操作输出这次被移除的数。最后好药输出大小排名为的倍数的数。保证每种输出的数不会超过
解析:
70分:
可以用优先队列实现,但是要优化一下。考虑每次取出一个最大值这个操作,堆来维护比较方便,但是每次加上一个似乎不好处理。我们考虑增加一个全局变量,表示每个数都需要加上,这样就可以避免对于堆中所有元素增加,而只需把每次新的两个元素减去,再放入堆中即可。具体做法:系统堆维护,每次取出最大元素,然后加上,得到真实值,算出两个新元素值,加上,两个新元素值减去,丢入堆中。
100分:
建立三个队列A,B,C,初始时A中元素为初始的数从大到小排序,B和C为空。每次操作时,从三个队列的队首(如果有)找出一个最大的元素出队,给最大的元素加上即为实际的最大值。然后,将⌊⌋减去插入到B的队尾,将-⌊⌋减去插入到C的队尾。所有操作完成后,通过类似归并的操作即可得到了从大到小排序的所有剩余的数。
这个算法的正确性并不显然,因为后一次操作与前一次操作移除的数的大小关系没有必然联系,也就是说你不能确定三个队首就是当前前三大的数。
我们一次考虑相邻的两个操作,设其中被移除的数分别为和,则有,设加入⌊⌋和-⌊⌋时维护的变量为,则加入⌊⌋和-⌊⌋时维护的变量为。
对于队列B,两次操作中入队的数分别为⌊⌋与⌊⌋。由于,所以⌊⌋⌊⌋,所以⌊⌋⌊⌋。保证了实际入队的前面的数总是不小于后面的数。
对于队列C同理。
时间复杂度。
PS:注意开
代码:
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int Max=7000100;
int n,m,u,v,q,t,h1=1,t1,h2=1,t2,h3=1,t3,sum,x,pre,num;
int ans[Max],q1[Max],q2[Max],q3[Max];
inline int get_int()
{int x=0,f=1;char c;for(c=getchar();(!isdigit(c))&&(c!='-');c=getchar());if(c=='-') {f=-1;c=getchar();}for(;isdigit(c);c=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';return x*f;
}
inline void print(int x){if(x > 9) print(x/10);putchar(x%10+'0');}
inline bool comp(const int &a,const int &b){return a>b;}
inline int calc(int x){return x*u/v;}
inline void solve()
{for(int i=1;i<=m;i++){num=max(q1[h1],max(q2[h2],q3[h3]));if(q1[h1]==num) h1++;else if(q2[h2]==num) h2++;else h3++;x=num+sum;sum+=q;if(!(i%t)) print(x),putchar(' ');num=calc(x),pre=x-num;q2[++t2]=num-sum,q3[++t3]=pre-sum; }
}
signed main()
{n=get_int(),m=get_int(),q=get_int(),u=get_int(),v=get_int(),t=get_int();memset(q1,-0x3f3f3f,sizeof(q1)),memset(q2,-0x3f3f3f,sizeof(q2)),memset(q3,-0x3f3f3f,sizeof(q3));for(int i=1;i<=n;i++) q1[i]=get_int();sort(q1+1,q1+n+1,comp);solve(),putchar('\n');for(int i=1;i<=n+m;i++){x=max(q1[h1],max(q2[h2],q3[h3]));if(q1[h1]==x) h1++;else if(q2[h2]==x) h2++;else h3++;if(!(i%t)) print(x+sum),putchar(' ');}return 0;
}
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