1、Jakes模型简介

1.1 Rayleigh衰落信道

瑞利分布：当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、均值为0、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
瑞利分布的概率密度函数如下：

瑞利衰落信道是一种无线电信号传播环境的统计模型。这种模型假设信号通过无线信道后其信号幅度是随机的，并且其包络服从瑞利分布。瑞利衰落信道模型适用于建筑物密集的城市环境，即从发射机到接收机不存在直射信号（Los，Line of Sight）的情况，否则应使用莱斯衰落信道模型。

1.2 Jakes信道模型

通过对复正弦波的合成，可以产生服从给定多普勒谱的瑞利衰落信道。为了使产生的信号幅度近似服从瑞利分布，正弦波的数量必须足够大。此外还必须对每个正弦波发生器进行加权，以产生想要的多普勒谱。

2、Jakes信道模型实现

以下代码显示了Jakes模型的时域特点、幅度/相位分布，通过“plot_Jakes_Flat.m”调用“Jakes_Flat”函数实现。

% plot_Jakes_Flat.m
clc, clear
fd= 926;   %多谱勒频率 926Hz
Ts= 1e-6;  %采样周期
M= 2^12;   %自相关函数取值个数，但本程序删去了绘制自相关函数的代码部分
t= [0:M-1]*Ts;
f= [-M/2:M/2-1]/(M*Ts*fd);
Ns= 50000; %采样点数
t_state= 0;
% 信道生成
[h,t_state]=Jakes_Flat(fd,Ts,Ns,t_state,1,0);%调用函数
figure(1)%展示Jakes信道模型的时域特点、幅度/相位分布
subplot(211)
plot([1:Ns]*Ts,10*log10(abs(h)))
axis([0 Ns*Ts -20 10])
title(['Jakes信道模型, f_d=',num2str(fd),'Hz, T_s=',num2str(Ts),'s']);
xlabel('时间[s]'),ylabel('幅度[dB]');
subplot(223)
histogram(abs(h),50);
title(['Jakes信道模型, f_d=',num2str(fd),'Hz, T_s=',num2str(Ts),'s']);
xlabel('幅度'),ylabel('次数');
subplot(224)
histogram(angle(h),50);
title(['Jakes信道模型, f_d=',num2str(fd),'Hz, T_s=',num2str(Ts),'s']);
xlabel('相位[rad]'),ylabel('次数');

function [h,tf]=Jakes_Flat(fd,Ts,Ns,t0,E0,phi_N)
%   输入:
%   fd      : 多普勒频率
%   Ts      : 采样周期
%   Ns      : 采样点数
%   t0      : 初始时间
%   E0      : 信道功率
%   phi_N   : 具有最大多普勒频率正弦信号的初始相位
%   输出:
%   h       : 复衰落向量
%   t_state : 当前时刻
if nargin<6phi_N=0;
end
if nargin<5E0=1;
end
if nargin<4t0=0;
end
if nargin<3error('需要输入更多的参数');
end
N0=10;      % 正弦波数量需要足够多，以便产生的信号幅度近似服从瑞利分布
N=4*N0+2;   % 以均匀方向到达的所有散射分量的射线被近似为 N 个平面波
wd=2*pi*fd; % 最大多普勒频率[rad]
t = t0+[0:Ns-1]*Ts; % 时间向量
tf = t(end)+Ts;     % 最终时间
coswt = [sqrt(2)*cos(wd*t); 2*cos(wd*cos(2*pi/N*[1:N0]')*t)]; %
h = E0/sqrt(2*N0+1)*exp(j*[phi_N pi/(N0+1)*[1:N0]])*coswt;    %
% E0为衰落信道的平均幅度
end

仿真结果：

以上代码未绘制出Jakes信道模型的自相关函数和多普勒谱，大家可根据相关公式自行绘制。

3、分析说明

3.1

经过多普勒频移的正弦数必须足够大，以便衰落信道的振幅能够近似服从瑞利分布（代码仿真中，自编写函数中采用的是N0=10），可以证明式1、式2满足以下性质：
3.1.1

这两个式子说明Jakes信道模型生成的衰落信号的平均幅度为，平均能量为。
3.1.2

说明信道的实部和虚部都是统计独立的。

3.2

根据仿真得到的图像可以看出：幅度谱近似服从瑞利分布，相位谱近似服从均匀分布。

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