本文属于「离散数学」系列文章之一。这一系列着重于离散数学的学习和应用。由于内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏离散数学系列文章汇总目录一文以作备忘。此外，在本系列学习文章中，为了透彻理解数学知识，本人参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料。以下是本文的不完全参考目录，在后续学习中还会逐渐补充：

（国外经典教材）离散数学及其应用第七版 Discrete Mathematics and Its Applications 7th ，作者是 Kenneth H.Rosen ，袁崇义译，机械工业出版社

离散数学第二版，武波等编著，西安电子科技大学出版社，2006年

离散数学第三版，方世昌等编著，西安电子科技大学出版社，2013年

（经典参考书及其题解）离散数学/离散数学——理论•分析•题解，左孝凌、李为鉴、刘永才编著，上海科学技术文献出版社

离散数学习题集：数理逻辑与集合论分册，耿素云；图论分册，耿素云；抽象代数分册，张立昂。北京大学出版社

文章目录

6. 二元关系
- 6.1 二元关系的定义
- 6.2 二元关系的表示
- 6.3 二元关系的运算及性质
- - 6.3.1 二元关系的集合运算
  - 6.3.2 二元关系的特殊运算（复合运算与逆运算）
  - 6.3.3 复合运算和逆运算的性质

6. 二元关系

6.1 二元关系的定义

6.2 二元关系的表示

6.3 二元关系的运算及性质

6.3.1 二元关系的集合运算

由于二元关系是以序偶为元素组成的集合，因此所有的集合运算对于二元关系同样适用。设 R,SR, SR,S 都是集合 AAA 到 BBB 的二元关系，则有：
（1）R∪S={⟨x,y⟩∣(xRy)∨(xSy)}R \cup S = \{ \lang x, y\rang \ | \ (xRy) \lor (xSy) \}R∪S={⟨x,y⟩ ∣ (xRy)∨(xSy)}
（2）R∩S={⟨x,y⟩∣(xRy)∧(xSy)}R\cap S = \{ \lang x, y\rang \ |\ (xRy) \land (xSy) \}R∩S={⟨x,y⟩ ∣ (xRy)∧(xSy)}
（3）R−S={⟨x,y⟩∣(xRy)∧(xSy)}R - S = \{ \lang x, y \rang \ | \ (x R y) \land (x\cancel{S} y)\}R−S={⟨x,y⟩ ∣ (xRy)∧(xSy)}
（4）R‾={⟨x,y⟩∣xRy}=A×B−R\overline R = \{ \lang x, y\rang \ |\ x \cancel{R} y\} = A \times B - RR={⟨x,y⟩ ∣ xRy}=A×B−R
（5）R⊕S=(R−S)∪(S−R)R \oplus S = (R - S) \cup (S - R)R⊕S=(R−S)∪(S−R)

例5 设 A={4,6,9,10}A = \{4, 6, 9, 10\}A={4,6,9,10} ，R1,R2R_1, R_2R1,R2 是 AAA 到 AAA 的两个二元关系，且
R1={⟨a,b⟩∣a−b2是正整数}R2={⟨a,b⟩∣a−33是正整数}\begin{aligned} R_1 = \{ \lang a, b\rang \ | \ \dfrac {a - b} { 2} 是正整数 \}\\ R_2 = \{ \lang a, b\rang \ | \ \dfrac { a - 3} { 3} 是正整数 \} \end{aligned} R1={⟨a,b⟩ ∣ 2a−b是正整数}R2={⟨a,b⟩ ∣ 3a−3是正整数}

试求 R1∪R2,R1∩R2,R1−R2,R‾1R_1 \cup R_2, R_1 \cap R_2 , R_1 - R_2, \overline R_1R1∪R2,R1∩R2,R1−R2,R1 。
解：R1={⟨6,4⟩,⟨10,4⟩,⟨10,6⟩},R2={⟨9,6⟩,⟨10,4⟩}R_1 = \{\lang 6, 4\rang , \lang 10, 4\rang, \lang 10, 6\rang \}, R_2 = \{ \lang 9, 6\rang, \lang 10, 4\rang \}R1={⟨6,4⟩,⟨10,4⟩,⟨10,6⟩},R2={⟨9,6⟩,⟨10,4⟩} 。因此
R1∪R2={⟨6,4⟩,⟨10,4⟩,⟨10,6⟩,⟨9,6⟩}R1∩R2={⟨10,4⟩}R1−R2={⟨6,4⟩,⟨10,6⟩}R‾1=A×A−R={⟨4,4⟩,⟨4,6⟩,⟨4,9⟩,⟨4,10⟩,⟨6,6⟩,⟨6,9⟩,⟨6,10⟩,⟨9,4⟩,⟨9,6⟩,⟨9,9⟩,⟨9,10⟩,⟨10,9⟩,⟨10,10⟩}\begin{aligned} &R_1\cup R_2 = \{\lang 6, 4\rang , \lang 10, 4\rang, \lang 10, 6\rang , \lang 9, 6\rang \}\\ &R_1 \cap R_2 = \{\lang 10, 4\rang \} \\ &R_1 - R_2 = \{ \lang 6, 4\rang, \lang 10, 6\rang\} \\ &\overline R_1 = A \times A - R = \{ \lang 4, 4\rang, \lang 4, 6\rang, \lang 4, 9\rang, \lang 4, 10\rang, \lang 6, 6\rang, \lang 6, 9\rang, \lang 6, 10\rang, \\ &\lang 9, 4\rang, \lang 9, 6 \rang , \lang 9, 9\rang , \lang 9, 10\rang , \lang 10, 9\rang, \lang 10, 10\rang\} \end{aligned} R1∪R2={⟨6,4⟩,⟨10,4⟩,⟨10,6⟩,⟨9,6⟩}R1∩R2={⟨10,4⟩}R1−R2={⟨6,4⟩,⟨10,6⟩}R1=A×A−R={⟨4,4⟩,⟨4,6⟩,⟨4,9⟩,⟨4,10⟩,⟨6,6⟩,⟨6,9⟩,⟨6,10⟩,⟨9,4⟩,⟨9,6⟩,⟨9,9⟩,⟨9,10⟩,⟨10,9⟩,⟨10,10⟩}

例6 设 AAA 和 BBB 分别是学校的所有教师和所有课程构成的集合。设 R1={⟨a,b⟩∣a∈A,b∈B,且a主讲b}R_1 = \{ \lang a, b\rang \ | \ a\in A, b \in B, 且a主讲b\}R1={⟨a,b⟩ ∣ a∈A,b∈B,且a主讲b} ，R2={⟨a,b⟩∣a∈A,b∈B,且a辅导b}R_2 = \{ \lang a, b\rang \ | \ a \in A, b\in B, 且a辅导b\}R2={⟨a,b⟩ ∣ a∈A,b∈B,且a辅导b} ，解释关系 R1∪R2,R1∩R2,R1⊕R2R_1 \cup R_2, R_1\cap R_2, R_1 \oplus R_2R1∪R2,R1∩R2,R1⊕R2 的含义。
解：R1∪R2R_1\cup R_2R1∪R2 由这样的序偶 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ 组成，即 bbb 是由教师 aaa 主讲或辅导的课程。
R1∩R2R_1\cap R_2R1∩R2 由这样的序偶 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ 组成，即 bbb 是由教师 aaa 主讲并且辅导的课程。
R1⊕R2R_1\oplus R_2R1⊕R2 由这样的序偶 ⟨a,b⟩\lang a, b\rang⟨a,b⟩ 组成，即教师 aaa 仅主讲但没有辅导课程 bbb 或者教师 aaa 仅辅导但没有主讲课程 bbb 。

6.3.2 二元关系的特殊运算（复合运算与逆运算）

二元关系还有两种特殊的运算：复合运算 composite operation 和逆运算 inverse operation 。由于函数是一种特殊的二元关系，我们就有了复合函数和逆函数。

定义6.3.2 设 RRR 为集合 AAA 到 BBB 的二元关系，SSS 为集合 BBB 到 CCC 的二元关系，令 R∘S={⟨a,c⟩∣a∈A∧c∈C∧(∃b)(b∈B∧⟨a,b⟩∈R∧⟨b,c⟩∈S)}R\circ S = \{ \lang a, c\rang \ |\ a\in A \land c \in C \land (\exist b )( b \in B \land \lang a, b\rang \in R \land \lang b, c\rang \in S) \}R∘S={⟨a,c⟩ ∣ a∈A∧c∈C∧(∃b)(b∈B∧⟨a,b⟩∈R∧⟨b,c⟩∈S)}

则称 R∘SR\circ SR∘S 为 RRR 与 SSS 的复合关系。

6.3.3 复合运算和逆运算的性质

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6.3.1 二元关系的集合运算

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6.3 二元关系的运算及性质

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