离散数学知识点总结（10）“关系” 知识的总结 ＜1＞：关系的基础概念 —— 有序 n 元组，集合的笛卡尔积，集合的关系（二元关系）的定义，关系的集合运算， 关系的基本性质
2024-04-07 10:25:34
文章目录
- 有序 n 元组和集合的笛卡尔积
- 序偶关系
- 有序二元组
- 序偶相等
- 有序三元组
- 有序n元组
- 有序 n 元组相等
- 集合的笛卡尔积
- 集合笛卡尔积的性质
- 集合的二元关系及其表示方法
- 相关
- 关系的定义
- 关系的定义域和值域
- 关系的表示方法
- 枚举法
- 谓词公式法
- 有向图法
- 矩阵法
- 特殊的关系
- 空关系 ∅ \empty ∅
- 全域关系（完全关系）
- 恒等关系
- 关系的基本运算
- 关系的性质
- 自反性
- 反自反性
- 对称性
- 反对称性
- 传递性
有序 n 元组和集合的笛卡尔积
序偶关系
有序二元组
- 有两个对象 x , y x,y x,y 组成的序列称为有序二元组，也称之为序偶，记作 < x , y > <x,y> <x,y>
- 序偶与集合不同，次序非常重要
序偶相等
- 设 < x , y > , < u , v > <x,y>, <u,v> <x,y>,<u,v> 是两个序偶，如果 x = u 且 y = v x=u 且 y=v x=u且y=v 那么这两个序偶被认为是相等的，记作 < x , y > = < u , v > <x,y>=<u,v> <x,y>=<u,v>
有序三元组
- 有序三元组是一个序偶，其第一个元素也是个序偶
- 因为第一个元素不是个序偶
有序n元组
- 有序n元组是一个序偶，其第一个元素本身是一个有序的 n-1 元组，记作 < < x 1 , x 2 , . . . , x n − 1 > , x n > <<x_1,x_2,...,x_{n-1}>,x_n> <<x1,x2,...,xn−1>,xn>，简记为 < x 1 , x 2 , . . . , x n − 1 , x n > <x_1,x_2,...,x_{n-1},x_n> <x1,x2,...,xn−1,xn>
有序 n 元组相等
集合的笛卡尔积
- 设集合 A , B A,B A,B 由 A A A 的元素为第一元素， B B B 的元素为第二元素组成的全部序偶的集合，称为 A A A 和 B B B 的笛卡尔积，记作 A × B A×B A×B
A × B = { < x , y > ∣ x ∈ A ∧ y ∈ B } A×B=\{<x,y>|x\in A \wedge y \in B\} A×B={<x,y>∣x∈A∧y∈B}
- 集合的笛卡尔积不满足交换律
- 集合的笛卡尔积也不满足结合律
集合笛卡尔积的性质
- 笛卡尔积后的元素个数
- 笛卡尔积对空集
- 笛卡尔积对 ∩ , ∪ \cap, \cup ∩,∪ 满足分配律
- 笛卡尔积对 ⊆ \subseteq ⊆ 的性质
- 多个集合的笛卡尔积的符号描述
集合的二元关系及其表示方法
相关
- 我们可以认为，两个集合的关系是两个集合笛卡尔积的一个子集。或者说，两个集合的笛卡尔积代表了这两个集合之间可能发生的所有关系（即组合）
关系的定义
- 关系可以看做是 序偶的集合
关系的定义域和值域
- 定义域就是关系集合 R R R 中的所有的第一元素 x x x 组成的集合
- 值域就是 关系集合 R R R 中所有的 第二元素 y y y 组成的集合
关系的表示方法
枚举法
谓词公式法
有向图法
- 第一个图表示的是在两个集合上的关系：在 A , B A, B A,B 上的关系 R 1 R_1 R1
- 第二种图表示的是一个集合和自身的关系： A , A A, A A,A 的关系， R 2 R_2 R2
矩阵法
特殊的关系
空关系 ∅ \empty ∅
全域关系（完全关系）
- 任意节点之间都有成对出现的边
- 每个节点都有指向自己的环
恒等关系
关系的基本运算
- 由于关系的本质还是集合，因此对于集合的基本运算 ∩ , ∪ , ∼ , ⊕ , − \cap, \cup, \sim, \oplus, - ∩,∪,∼,⊕,− 也同样适用。
关系的性质
- 自反性
- 反自反性
- 对称性
- 反对称性
- 传递性
Note： 这里涉及到的所有的关系，都是某个集合和自身的关系，即集合 A A A，关系 R ⊆ A × A R \subseteq A×A R⊆A×A
自反性
- 有向图的每个节点都有指向自己的环
- 矩阵的主对角线值都为 1
反自反性
- 有向图的每个节点都没有指向自己的环
- 矩阵的主对角线值都为 0
- 一个关系，不是 自反的，也不一定就是 反自反的
- 图中的 R 6 , R 7 R_6,R_7 R6,R7 既不是自反关系，也不是反自反关系
对称性
- 有向图的不同节点之间 只要有边，就是方向相反的两条边
- 矩阵特点：矩阵关于主对角线对称
- 特别注意：恒等关系（主对角线全为1）、空关系（矩阵全为0） 都是 对称关系
- 图中 R 4 , R 8 R_4, R_8 R4,R8 分别是 恒等关系 和 空关系，他们都是对称关系
反对称性
- 有向图的不同节点之间 只要有边，最多只有一条单方向的边
- 矩阵特点：矩阵关于主对角线对称的位置，最多只有一个 1
- 对称关系和反对称关系不是完全对立的，有些对称关系，也同样是反对称关系
- 反对称或者对称的概念是对所有节点来说的，比如下图中的 R 7 R_7 R7 他是反对称的，虽然他在 1,2 节点的关系是对称的；
- 如果我们要说一个关系是对称的，就需要它里面所有的出现的边都是对称的；而只要找到一个反例，他就是反对称的了
- R 4 , R 8 R_4, R_8 R4,R8 他们既是对称的，也是反对称的
传递性
- 通过有向图和矩阵不容易识别是否具有传递性，要通过传递性的定义来检查。
- R 1 R_1 R1 中， x R y xRy xRy 为假，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为假，因此整个谓词公式为真，因此满足传递性。所以我们可以得到结论，独立无环的节点不影响传递性
- R 2 R_2 R2 中，图中存在 x R x xRx xRx 因此 x R y xRy xRy 为假，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为假，因此依然满足传递性，所以我们得到另一个结论 独立有环的节点不影响传递性
- R 3 R_3 R3 中，图中存在 x R x xRx xRx ， x R y xRy xRy，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为假，依然满足传递性。
- R 4 R_4 R4 中，图中存在 y R x yRx yRx 也有 x R x xRx xRx （可以把 y R x yRx yRx 和 x R x xRx xRx 看做是 x R y , y R z xRy, yRz xRy,yRz 的特殊情况），即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，而确实后件也确实为真，因为 x R x xRx xRx 确实存在，所以 R 4 R_4 R4 满足传递性
- R 5 R_5 R5 中，图中存在 x R y xRy xRy ， 不存在 y R z yRz yRz，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为假，依然满足传递性。
- R 6 R_6 R6 中，图中存在 x R y xRy xRy ， y R x yRx yRx，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，但不存在后件 x R x xRx xRx 因此不满足传递性。
- R 7 R_7 R7 中，图中存在 x R y xRy xRy ， y R x yRx yRx，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，同时也存在后件为真 x R x xRx xRx 因此满足传递性。
- R 8 R_8 R8 中，图中存在 x R y xRy xRy ， x R z xRz xRz，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为假，因此满足传递性。
- R 9 R_9 R9 中，图中存在 x R y xRy xRy ， y R z yRz yRz，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，但不存在后件 x R z xRz xRz 因此不满足传递性。
- R 10 R_{10} R10 中，图中存在 x R y xRy xRy ， y R x yRx yRx，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，也存在后件 x R z xRz xRz 因此满足传递性。
- R 11 R_{11} R11 中，图中存在 x R y xRy xRy ， y R x yRx yRx，即 ∀ x ∀ y ∀ z ( ( x ∈ A ∧ y ∈ A ∧ z ∈ A ∧ x R y ∧ y R z ) → x R z ) \forall x \forall y \forall z((x \in A \wedge y \in A \wedge z \in A \wedge xRy \wedge yRz) \rightarrow xRz) ∀x∀y∀z((x∈A∧y∈A∧z∈A∧xRy∧yRz)→xRz) 中的前件为真，但后件为 z R x zRx zRx 因此后件为假，不满足传递性。
- 此外，我们还可以推导出 空关系 和 恒等关系 以及 完全关系 也是满足传递性的
- 因为空关系就是三个独立的点，使得传递性的前件为假
- 恒等关系就是三个独立的成环的点，也使得传递性的前件为假
- 完全关系就是所有点之间的线都是双向的并且有自己成环，因此他的传递性关系判断的前件为真，后件也为真
离散数学知识点总结（10）“关系” 知识的总结 ＜1＞：关系的基础概念 —— 有序 n 元组，集合的笛卡尔积，集合的关系（二元关系）的定义，关系的集合运算， 关系的基本性质相关推荐
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