【高等数学笔记】证明：闭包是包含集合的最小的闭集

本文用到的定义和定理在前两篇文章中给出：
#1【高等数学笔记】证明：闭包一定是闭集
#2【高等数学笔记】闭包、孤立点、导集、内点、边界的关系

我们已经在#1的定理3证明了闭包是闭集。那么证明本文的标题等价于证明
定理9 设A⊆RnA\subseteq R^nA⊆Rn，则不存在闭集BBB，使得A⊆B⫋AˉA\subseteq B\subsetneqq \bar{A}A⊆B⫋Aˉ。
证明： 假设存在闭集BBB，使得A⊆B⫋AˉA\subseteq B\subsetneqq \bar{A}A⊆B⫋Aˉ。那么，存在点a∈Aˉa\in\bar{A}a∈Aˉ使得a∉Ba\notin Ba∈/B。由于A⊆BA\subseteq BA⊆B，故a∉Aa\notin Aa∈/A。根据#1定理1，∀ε>0\forall\varepsilon>0∀ε>0，U˚(a,ε)∩A≠∅\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap A\ne\emptysetU˚(a,ε)∩A=∅，结合A⊆BA\subseteq BA⊆B有U˚(a,ε)∩B≠∅\mathring{U}(a,\varepsilon)\cap B\ne\emptysetU˚(a,ε)∩B=∅，故a∈B′a\in B'a∈B′。因为BBB是闭集，根据闭集的定义知B′⊆BB'\subseteq BB′⊆B。而∃a∈B′\exists a\in B'∃a∈B′但a∉Ba\notin Ba∈/B，所以B′⊈BB'\not\subseteq BB′⊆B，与BBB是闭集矛盾。因此假设不成立，定理得证。

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