用MATLAB处理语音信号，做fft后要获得单边谱。本文收集资料进行了推导，对于fft数值后续操作从理论上做了一个理解。并且简洁的解释了fft函数的结果。供大家参考，欢迎批评指正。

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理论推导

三角函数形式傅里叶级数

根据傅里叶级数原始定义，其三角函数集合在一个周期上是完备正交集：

[公式1]

T是待分析信号的周期。所以每个频率分量：k/T下，频谱成分由括号内Ak项和Bk项共同决定，且都是非负角频率。也就是说想做成频率-幅度谱表示信号f(t)需要两个图。

指数形式傅里叶级数

通过欧拉公式变换得到等效形式，指数形式傅里叶级数。

[公式2]

变换的目的是期望频谱能用一个单一数值C_k表示，而不是分为A_k和B_k两个频谱图。

用如下方式得到C_k：

可见每个C_k由A_k和B_k共同影响，且对应公式一中一个频率分量kω0，在公式2中分为了双边频谱的两个谱线C_k与C_-k。最终得到指数形式傅里叶变换：

[公式3]

傅里叶级数与双边谱的关系

根据[公式3]中的C_k得到的双边频谱，就是双边谱。三角形式傅里叶级数项与双边谱幅度的关系推导如下：

由于本身是实信号，所以不会出现虚数项， C_k的相位φk取值为-π，0，π，故C_k与C_-k取值保持相同。所以对于双边幅度谱谱线大小:

信号处理时，可以用功率谱（功率谱密度）和频谱（频谱谱密度）来分析信号，功率谱需要先做自相关在做FFT，频谱直接用信号做FFT；功率谱是从能量的角度研究信号，频谱是从时域变为频域的对信号的描述。

傅里叶级数对应的单边谱

[公式1]还可以写为如下形式得到单边谱：

[公式4]

相比公式1，公式三只用一项表示特定频率的频谱，另外增加了相位信息。
[公式4]对应的频谱就是单边谱，[公式2]对应的频谱为双边谱，可见：

也就是相应频谱(k≠0)单边谱的幅度谱幅值大小，是双边谱中的两倍。相位奇对称。

MATLAB - fft函数解释

Y = fft(x)，信号x长度为L，L是偶数，采样率Fs，得到的Y的结果是L个复数。复数的相位就是相同频率双边频谱频率对应的相位。频谱幅度的数值还需要求模除以L。C = abs(Y/L)，C就为双边谱的幅值，其中：

C(1)为直流分量，等于单边谱D_0；
C(2:N/2+1)为双边谱正频率值幅值，对应频率从Fs/N ~ Fs/2;想变为单片谱还要乘以2。
C(N/2+1:end)为双边谱负频率幅值，对应频率从-Fs/2 ~ -Fs/N,可以发现C(N/2+1)点被共用。

典型使用方法

Fs = 1000;            % Sampling frequency
T = 1/Fs;             % Sampling period
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector
S = 1*sin(2*pi*10*t) + 0.5*cos(2*pi*50*t);   %signal with 2 componentsY = fft(S);
P2 = abs(Y/L);  % 2-sides spectrum
P1 = P2(1:L/2+1); % fetch half of P2
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1); % times 2 to turn to 1-side spectrum （k>0）
f = Fs*(0:(L/2))/L;  % calculate real frequency of each point
plot(f,P1); % 相位计算可以用 angle(Y(16))或者phase(Y(16))计算，结果为弧度。

补充

[公式4]推导三角变换基础:

通过以上计算过程与公式1，得到公式4。

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