【 1. 低通滤波器】

电容上的分压
UC=UI1jwCR+1jwCU_C=U_I\frac{\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}}UC=UIR+jwC1jwC1
放大倍数
Au=UCUI=1jwCR+1jwC=1jwRC+1=1w2R2C2+1−jwRCw2R2C2+1A_u=\frac{U_C}{U_I}=\frac{\frac{1}{jwC}}{R+\frac{1}{jwC}}=\frac{1}{jwRC+1}=\frac{1}{w^{2}R^{2}C^{2}+1}-j\frac{wRC}{w^{2}R^{2}C^{2}+1}Au=UIUC=R+jwC1jwC1=jwRC+11=w2R2C2+11−jw2R2C2+1wRC
放大倍数的模
∣Au∣=(1w2R2C2+1)2+(wRCw2R2C2+1)2=1w2R2C2+1|A_u|=\sqrt{(\frac{1}{w^{2}R^{2}C^{2}+1})^2+(\frac{wRC}{w^{2}R^{2}C^{2}+1})^2}=\frac{1}{\sqrt{w^{2}R^{2}C^{2}+1}}∣Au∣=(w2R2C2+11)2+(w2R2C2+1wRC)2=w2R2C2+11。
由此式可知，随着频率w的增大，放大倍数逐渐减小，呈“衰减”趋势。
截止频率
我们自己设定让衰减0.707倍时的频率称为截止频率，那么
∣Au∣=1w2R2C2+1=0.707|A_u|=\frac{1}{\sqrt{w^{2}R^{2}C^{2}+1}}=0.707∣Au∣=w2R2C2+11=0.707
即:w2R2C2=(10.707)2−1≈1.0006w^{2}R^{2}C^{2}=(\frac{1}{0.707})^2-1≈1.0006w2R2C2=(0.7071)2−1≈1.0006
再化简得到:2πfRC≈1→截止频率fstop≈12πRC2\pi{fRC}≈1→截止频率f_{stop}≈\frac{1}{2\pi{RC}}2πfRC≈1→截止频率fstop≈2πRC1
验证
我们先设定R=10K，C=0.1uF，那么根据公示算得的截止频率为159.2Hz。得到以下的数值表（x代表频率，f(x)代表放大倍数的模），可见，越是低频成分放大倍数的模越接近于1，越是高频部分，放大倍数的模越趋于0即衰减。频率呈“低通”效果。

放大倍数的相位角
说完了幅频特性，下面看一下相频特性(输入信号与输出信号的相角差)，
tanθ=−wRCw2R2C2+11w2R2C2+1=−wRCtanθ=\frac{-\frac{wRC} {w^{2}R^{2}C^{2}+1}}{\frac{1}{w^{2}R^{2}C^{2}+1}}=-wRCtanθ=w2R2C2+11−w2R2C2+1wRC=−wRC
θ=−arctan(wRC)θ=-arctan(wRC)θ=−arctan(wRC)

【 2. 高通滤波器】

同样地，可以设计高通滤波器。

电阻上的分压
UR=UIRR+1jwCU_R=U_I\frac{R}{R+\frac{1}{jwC}}UR=UIR+jwC1R
放大倍数
Au=URUI=RR+1jwC=jwRCjwRC+1=w2R2C2w2R2C2+1+jwRCw2R2C2+1A_u=\frac{U_R}{U_I}=\frac{R}{R+\frac{1}{jwC}}=\frac{jwRC}{jwRC+1}=\frac{w^2R^2C^2}{w^2R^2C^2+1}+j\frac{wRC}{w^2R^2C^2+1}Au=UIUR=R+jwC1R=jwRC+1jwRC=w2R2C2+1w2R2C2+jw2R2C2+1wRC
放大倍数的模
∣Au∣=(w2R2C2w2R2C2+1)2+(wRCw2R2C2+1)2=11+1w2R2C2|A_u|=\sqrt{(\frac{w^2R^2C^2}{w^2R^2C^2+1})^2+(\frac{wRC}{w^2R^2C^2+1})^2}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{w^2R^2C^2}}}∣Au∣=(w2R2C2+1w2R2C2)2+(w2R2C2+1wRC)2=1+w2R2C211可知，随着频率的减小，放大倍数的模逐渐减小即衰减。
截止频率
∣Au∣=11+1w2R2C2=0.707|A_u|=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{w^2R^2C^2}}}=0.707∣Au∣=1+w2R2C211=0.707
即:w2R2C2=110.7072−1≈0.999w^2R^2C^2=\frac{1}{\frac{1}{0.707^2}-1}≈0.999w2R2C2=0.70721−11≈0.999
再化简得:2πfRC≈1→截止频率fstop≈12πRC2\pi{fRC}≈1→截止频率f_{stop}≈\frac{1}{2\pi{RC}}2πfRC≈1→截止频率fstop≈2πRC1可知，低通滤波器和高通滤波器的截止频率公式是一样的！
验证
和上面低通滤波器的参数设定一样，我们设定R=10K，C=0.1uF，截止频率为159.2Hz。得到以下的数值表（x代表频率，g(x)代表放大倍数的模），可见，越是低频成分放大倍数的模越接近于0即衰减，越是高频部分，放大倍数的模越趋于1，频率呈“高通”效果。

放大倍数的相位角
相频特性(输入信号与输出信号的相角差)
tanθ=wRCw2R2C2+1w2R2C2w2R2C2+1=wRCtanθ=\frac{\frac{wRC}{w^2R^2C^2+1}}{\frac{w^2R^2C^2}{w^2R^2C^2+1}}=wRCtanθ=w2R2C2+1w2R2C2w2R2C2+1wRC=wRC
θ=arctan(wRC)θ=arctan(wRC)θ=arctan(wRC)

【 3. 常用工具】

电子发烧友 _一阶RC滤波器设计工具

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