一阶RC滤波器的算法实现（低通和高通）

目前，项目需要处理信号。目标信号是特定频率范围内的信号。高频视为干扰。而一阶RC滤波器容易实现。但是网上资料往往没有详细的推导。因此在这里把笔记记下。本文的优势是比较详细，参数配置都有公式依据。

1、一阶RC低通滤波器的算法实现

1.1 算法推导

1.2 波特图

1.3 用C语言实现

2、一阶RC高通滤波器的原理以及实现

2.1 原理推导

2.2 波特图

2.3 用C语言实现

3 上机测试

1、一阶RC低通滤波器的算法实现

1.1 算法推导

一阶RC滤波器的硬件电路如图：

图中输入电压是Vi，电阻R，电容C，输出电压为Vo。

假设电路的输出阻抗很大（即不带任何负载），输入阻抗很小（理想情况）。可以得到以下公式：

$V_o = \frac{1}{1+j\omega RC}V_i$

电容的阻抗是 $Z_C = \frac{1}{j\omega C}$ 。

而 $\omega = 2\pi f$

截止频率 $f_{cut} = \frac{1}{2\pi RC}$ ，此频率下的信号，通过这个电路，输出电压和输入电压的关系式是 $V_o = \frac{1}{1+j}V_i$

或者时域上的表达式：

$V_o = V_i - RC\frac{dV_o}{dt}$

上式离散后，可以得到：

$V_o\left ( k \right )=\frac{V_i\left ( k \right )+\frac{RC}{T_s}V_o\left ( k-1 \right )}{1+\frac{RC}{T_s}}$

假如要过滤掉10KHz以上的频率，可以选择fcut = 1K，并计算RC的值，代入上式。

1.2 波特图

用Octave或者Matlab可以得到传递函数的波特图：

fcut =1000;
RC=1/2/pi/fcut;
%pkg load control %Octave用的读取control包
y1 = tf(1,[RC,1])
bode(y1)

以上波特图可见，在截止频率处（ $\omega =2\pi f$ ，代入f=1k，可得截至角频率是6283 rad/s），信号会衰减到原来的0.707。这电路对频率大于截止频率的高频信号，具有比较强的衰减作用，同时对该信号有比较大的相位移动。

1.3 用C语言实现

C语言的实现1

/**
* @brief implement 1 order RC low pass filter
* raw data filtered by a simple RC low pass filter@cufoff=5Hz
* @param Vi : Vi(k)
* @param Vi_p : Vi(k-1)
* @param Vo : Vo(k)
* @param Vo_p : Vo(k-1)
* @note This example shows a simple way to report end of conversion
* and get conversion result. You can add your own implementation.
* @retval None
*/
void LowPassFilter_RC_1order(float *Vi, float *Vo, float *Vo_p, float sampleFrq )
{
float CutFrq, RC, Cof1, Cof2;
//low pass filter @cutoff frequency = 5 Hz
CutFrq = 5;
RC = (float)1.0/2.0/PI/CutFrq;
Cof1 = 1/(1+RC*sampleFrq);
Cof2 = RC*sampleFrq/(1+RC*sampleFrq);
*Vo = Cof1 * (*Vi) + Cof2 * (*Vo_p);
//update
*Vo_p = *Vo;
}

调用例子：

float b_ADCLoad1Volt, b_ADCLoad1VoltFltr, b_ADCLoad1VoltFltrPrv;
LowPassFilter_RC_1order(&b_ADCLoad1Volt, &b_ADCLoad1VoltFltr, &b_ADCLoad1VoltFltrPrv, 1000.0);

C语言实现2：

//*********** Structure Definition ********//
typedef struct {
float Vi;
float Vo_prev;
float Vo;
float Fcutoff;
float Fs;
} LPF_1orderRC_F;
//*********** Structure Init Function ****//
void LPF_1orderRC_F_init(LPF_1orderRC_F *v)
{
v->Vi=0;
v->Vo_prev=0;
v->Vo=0;
//low pass filter @cutoff frequency = 5 Hz
v->Fcutoff=5;
// execute 1000 every second
v->Fs=1000;
}
//*********** Function Definition ********//
float LPF_1orderRC_F_FUNC(LPF_1orderRC_F *v)
{
float RC, Cof1, Cof2;
RC = (float)1.0/2.0/PI/v->Fcutoff;
Cof1 = 1/(1+RC*v->Fs);
Cof2 = RC*v->Fs/(1+RC*v->Fs);
v->Vo = Cof1 * v->Vi + Cof2 * v->Vo_prev;
v->Vo_prev = v->Vo;
return v->Vo;
}
LPF_1orderRC_F lpf_1orderrc_handle;

调用方式：

...
int main(void)
{
...
LPF_1orderRC_F_init(&lpf_1orderrc_handle); //初始化
while(1)
{
...
if(flag_1ms==1)
{
lpf_1orderrc_handle.Vi = ADCresult; //假设ADCresult是ADC采样结果
LPF_1orderRC_F_FUNC(&lpf_1orderrc_handle); //usage
FilteredResult = lpf_1orderrc_handle.Vo; //FilteredResult存放滤波结果
}
}
}

2、一阶RC高通滤波器的原理以及实现

2.1 原理推导

这是一节RC高通滤波器的原理图：

$V_o = \frac{1}{1+\frac{1}{j\omega RC}}V_i$

截止频率 $f_{cut} = \frac{1}{2\pi RC}$

写成时域上的表达式：

$V_o = C\frac{d\left ( V_i - V_o \right )}{dt}R$

离散化后得到：

$V_o\left ( k \right )=\left ( V_i\left ( k \right )-V_i\left ( k-1 \right )+V_o\left ( k-1 \right ) \right )\frac{RC}{RC+T_s}$

根据设定的截止频率，假如目标频率是50Hz，截止频率可以整定为0.5Hz，过滤低频分量，而不影响目标信号的采集。

$RC = \frac{1}{2\pi f_{cut}}$

2.2 波特图

传递函数可又频域函数转换得到，将 $s=j\omega$ 带入频域公式。得到：

$V_o = \frac{RCs}{RCs+1}V_i$

Octave绘制波特图：

fcut =0.5;
RC=1/2/pi/fcut;
pkg load control
y1 = tf([RC,0],[RC,1])
bode(y1)

高通滤波器对截至频率以上的信号无大影响，信号能正常经过滤波器。但是该滤波器对截至频率以下的信号，具有较大的影响。和截至频率相比，频率越小，衰减作用越明显。同时在相位图中可见，对频率越低的信号，相位移动也越大。

2.3 用C语言实现

C语言的实现1：

void HighPassFilter_RC_1order(float *Vi, float *Vi_p, float *Vo, float *Vo_p, float sampleFrq )
{
float CutFrq, RC, Coff;
//high pass filter @cutoff frequency = 0.5 Hz
CutFrq = 0.5;
RC = (float)1.0/2.0/PI/CutFrq;
Coff = RC/(RC + 1/sampleFrq);
*Vo = ((*Vi) - (*Vi_p) +(*Vo_p) )*Coff ;
//update
*Vo_p = *Vo;
*Vi_p = *Vi;
}

调用例子：

float b_ADCLoad1Volt, b_ADCLoad1VoltPrv, b_ADCLoad1VoltFltr, b_ADCLoad1VoltFltrPrv;
HighPassFilter_RC_1order(&b_ADCLoad1Volt, &b_ADCLoad1VoltPrv, &b_ADCLoad1VoltFltr, &b_ADCLoad1VoltFltrPrv, 1000.0);

调用时，1000是指每秒需要执行这个函数1000次。

C语言实现2：

#define PI 3.1415
//*********** Structure Definition ********//
typedef struct {
float Vi;
float Vi_prev;
float Vo_prev;
float Vo;
float Fcutoff;
float Fs;
} HPF_1orderRC_F;
//*********** Structure Init Function ****//
void HPF_1orderRC_F_init(HPF_1orderRC_F *v)
{
v->Vi=0;
v->Vi_prev=0;
v->Vo_prev=0;
v->Vo=0;
//high pass filter @cutoff frequency = 0.05 Hz
v->Fcutoff=0.05;
// execute 1000 every second
v->Fs=1000;
}
//*********** Function Definition ********//
float HPF_1orderRC_F_FUNC(HPF_1orderRC_F *v)
{
float RC, Coff;
RC = (float)1.0/2.0/PI/v->Fcutoff;
Coff = RC/(RC + 1/v->Fs);
v->Vo = (v->Vi - v->Vi_prev + v->Vo_prev ) * Coff;
//update
v->Vo_prev = v->Vo;
v->Vi_prev = v->Vi;
return v->Vo;
}
HPF_1orderRC_F hpf_1orderrc_handle;

调用例子：

...
int main(void)
{
...
HPF_1orderRC_F_init(&hpf_1orderrc_handle); //初始化
while(1)
{
...
if(flag_1ms==1)
{
hpf_1orderrc_handle.Vi = ADCresult; //假设ADCresult是ADC采样结果
FilteredResult = HPF_1orderRC_F_FUNC(&hpf_1orderrc_handle);//FilteredResult存放滤波结果
}
}
}

3 上机测试

板子上面MCU采用STM32F103C8，外扩了USB转UART模块，外扩了PIR+运放模块。

在STM32F103C8上面，PA7连接了某信号源。USART1和FT232模块连接，与电脑通信。

单片机对PA7的采样信号进行滤波处理，目的是把目标信号的直流部分和高频部分滤除，得到0.05Hz-5Hz以内的分量。

上位机使用了SerialChart-0.3.4，把信号波形显示。效果如下图。数据第一列是时间戳，第二列是原始数据，第三列是滤波后的数据。Chart中，蓝色是第二列原始数据，红色是第三列滤波后的数据。

可以看到，滤波器对直流信号有衰减作用。