张宇1000题概率论与数理统计 第一章 随机事件和概率
目录
- BBB组
- 15.在一个袋中有aaa个白球，bbb个黑球，每次摸一球且摸后放回重复nnn次。已知摸到白球kkk次的条件下，事件BBB发生的概率为kn\cfrac{k}{n}nk，则P(B)=P(B)=P(B)=______。
- 17.设事件A,B,CA,B,CA,B,C两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(A∪B∪C)P(A\cup B\cup C)P(A∪B∪C)的最大值为______。
- CCC组
- 7.设双胞胎中第一个是男孩的概率为51%51\%51%，同性双胞胎是异性双胞胎的333倍，已知一双胞胎第一个是男孩，求第二个也是男孩的概率。
- 写在最后
BBB组
15.在一个袋中有aaa个白球，bbb个黑球，每次摸一球且摸后放回重复nnn次。已知摸到白球kkk次的条件下，事件BBB发生的概率为kn\cfrac{k}{n}nk，则P(B)=P(B)=P(B)=______。
解 由题意，次摸一球且摸后放回重复nnn次实质为nnn重独立重复试验，则每次摸到白球的概率记为p=aa+bp=\cfrac{a}{a+b}p=a+ba。设事件Ak={A_k=\{Ak={在nnn重独立重复试验中摸到白球kkk次}\}}，则P(Ak)=Cnkpk(1−p)n−k(k=0,1,2,⋯,n)P(A_k)=\mathrm{C}^k_np^k(1-p)^{n-k}(k=0,1,2,\cdots,n)P(Ak)=Cnkpk(1−p)n−k(k=0,1,2,⋯,n)，由全概率公式得
P(B)=∑k=0nP(Ak)P(B∣Ak)=∑k=0nCnkpk(1−p)n−k⋅kn=p∑k=1nCn−1k−1pk−1(1−p)n−k=p(p+1−p)n−1=p=aa+b.\begin{aligned} P(B)&=\displaystyle\sum^n_{k=0}P(A_k)P(B|A_k)=\displaystyle\sum^n_{k=0}\mathrm{C}^k_np^k(1-p)^{n-k}\cdot\cfrac{k}{n}\\ &=p\displaystyle\sum^n_{k=1}\mathrm{C}^{k-1}_{n-1}p^{k-1}(1-p)^{n-k}=p(p+1-p)^{n-1}=p=\cfrac{a}{a+b}. \end{aligned} P(B)=k=0∑nP(Ak)P(B∣Ak)=k=0∑nCnkpk(1−p)n−k⋅nk=pk=1∑nCn−1k−1pk−1(1−p)n−k=p(p+1−p)n−1=p=a+ba.
（这道题主要利用了全概率公式求解）
17.设事件A,B,CA,B,CA,B,C两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(A∪B∪C)P(A\cup B\cup C)P(A∪B∪C)的最大值为______。
解 依题意有
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A)P(B)−P(A)P(C)−P(B)P(C)+P(Ø)=3(A)−3[P(A)]2=34−3[P(A)−12]2,\begin{aligned} P(A\cup B\cup C)&=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)\\ &=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)+P(\text{\O})\\ &=3(A)-3[P(A)]^2=\cfrac{3}{4}-3\left[P(A)-\cfrac{1}{2}\right]^2, \end{aligned} P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A)P(B)−P(A)P(C)−P(B)P(C)+P(Ø)=3(A)−3[P(A)]2=43−3[P(A)−21]2,
故P(A∪B∪C)P(A\cup B\cup C)P(A∪B∪C)的最大值为34\cfrac{3}{4}43。（这道题主要利用了事件独立条件求解）
CCC组
7.设双胞胎中第一个是男孩的概率为51%51\%51%，同性双胞胎是异性双胞胎的333倍，已知一双胞胎第一个是男孩，求第二个也是男孩的概率。
解 记Ai={A_i=\{Ai={第iii个婴儿是男孩}\}}，A‾i={\overline{A}_i=\{Ai={第iii个婴儿是女孩}\}}，i=1,2i=1,2i=1,2。
事件A1A2,A‾1A‾2,A1A‾2,A‾1A2A_1A_2,\overline{A}_1\overline{A}_2,A_1\overline{A}_2,\overline{A}_1A_2A1A2,A1A2,A1A2,A1A2构成一个完备事件组，记p1=P(A1A2),p2=P(A‾1A‾2),p3=P(A1A‾2),p4=P(A‾1A2)p_1=P(A_1A_2),p_2=P(\overline{A}_1\overline{A}_2),p_3=P(A_1\overline{A}_2),p_4=P(\overline{A}_1A_2)p1=P(A1A2),p2=P(A1A2),p3=P(A1A2),p4=P(A1A2)，则∑i=14pi=1,p3=p4,p1+p2=3(p3+p4)\displaystyle\sum^4_{i=1}p_i=1,p_3=p_4,p_1+p_2=3(p_3+p_4)i=1∑4pi=1,p3=p4,p1+p2=3(p3+p4)。
又P(A1)=P(A1(A2∪A‾2))=P(A1A2)+P(A1A‾2)=p1+p3=0.51P(A_1)=P(A_1(A_2\cup\overline{A}_2))=P(A_1A_2)+P(A_1\overline{A}_2)=p_1+p_3=0.51P(A1)=P(A1(A2∪A2))=P(A1A2)+P(A1A2)=p1+p3=0.51，于是有{p1+p2+p3+p4=1,p3=p4,p1+p2=3(p3+p4),p1+p3=0.51,\begin{cases}p_1+p_2+p_3+p_4=1,\\p_3=p_4,\\p_1+p_2=3(p_3+p_4),\\p_1+p_3=0.51,\end{cases}⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧p1+p2+p3+p4=1,p3=p4,p1+p2=3(p3+p4),p1+p3=0.51,解得p1=77200=P(A1A2)p_1=\cfrac{77}{200}=P(A_1A_2)p1=20077=P(A1A2)。故P(A2∣A1)=P(A1A2)P(A1)=77200/51100=77102P(A_2|A_1)=\cfrac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}=\cfrac{77}{200}/\cfrac{51}{100}=\cfrac{77}{102}P(A2∣A1)=P(A1)P(A1A2)=20077/10051=10277。（这道题主要利用了构造方程组求解）
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