Python函数之六：递归函数

一、什么是函数的递归

1、编程语言中, 函数Func(Type a,…)直接或间接调用函数本身，则该函数称为递归函数。

2、递归的定义：一种计算过程，如果其中每一步都要用到前一步或前几步的结果，称为递归。

3、用递归过程定义的函数，称为递归函数。

1、调用方式

1.1 直接调用

def func():print('in func')func()
func()

分析：这就是一个直接调用自身的递归函数，因为没有判断边界，是一个死循环函数。

1.2 间接调用

def foo():print('in foo')bar()def bar():print('in bar')foo()
foo()

分析：这是一个间接调用方式的递归函数，foo函数和bar函数相互调用对方形成递归，也是一个死循环。

1.3 总结

1、递推：一层一层递归调用下去，进入下一层递归的问题规模都将会减小；
2、回溯：递归必须要有一个明确的结束条件，在满足该条件开始一层一层回溯；
3、递归的精髓在于通过不断地重复逼近一个最终的结果。

def foo(n):if n == 1:return 1else:return n * foo(n-1)
print(foo(5))#120

分析：
第一次循环：n = 5 返回值：5 * foo(5-1)
第二次循环：n = 4 返回值：5 * 4 * foo(4-1)
第三次循环：n = 3 返回值：5 * 4 * 3 * foo(3-1)
第四次循环：n = 2 返回值：5 * 4 * 3 * 2 foo(2-1)
第五次循环：n = 1 返回值：5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

二、递归与循环

1、用循环的方式实现阶乘

def foo(n):res = 1for i in range(n):res = res * (i + 1)return res
print(foo(5))#120

2、递归与循环的优缺点

2.1 递归

优点：代码简洁、清晰，并且容易验证正确性。（如果你真的理解了算法的话，否则你更晕）

缺点：
1、它的运行需要较多次数的函数调用，如果调用层数比较深，每次都要创建新的变量，需要增加额外的堆栈处理，会对执行效率有一定影响，占用过多的内存资源。
2、递归算法解题的运行效率较低。在递归调用的过程中系统为每一层的返回点、局部变量等开辟了栈来储存。递归次数过多容易造成栈溢出等。

2.2 循环

优点：速度快，结构简单。

缺点：并不能解决所有的问题。有的问题适合使用递归而不是循环。如果使用循环并不困难的话，最好使用循环

三、递归的应用

1、二分法查找

所谓二分法查找就是在一个区间[a, b]内查找一个数m，判断m是否大于b/2，如果大于，则在[b/2,b]之间查找，如果小于，则在[a,b/2]之间查找，然后重复以上操作来实现的

代码实例：查找列表中[1, 3, 7, 11, 22, 34, 55, 78, 111, 115]的值：78

def foo(n, li):mid_index = int(len(li)/2)print(li)if len(li) == 0:print('not find it')returnif n > li[mid_index]:li = li[mid_index+1:]foo(n, li)elif n < li[mid_index]:li = li[:mid_index]foo(n, li)else:print('find it')li = [1, 3, 7, 11, 22, 34, 55, 78, 111, 115]
foo(78, li)
# [1, 3, 7, 11, 22, 34, 55, 78, 111, 115]
# [55, 78, 111, 115]
# [55, 78]
# find it

2、使用递归打印斐波那契数列(前两个数的和得到第三个数)

#得出斐波那契数列的第n项
def feibo(n):if n <= 1:return nelse:return feibo(n-1) + feibo(n-2)def dayin(n):for i in range(1, n+1):print(f'第{i}项为：{feibo(i)}')
dayin(10)
# 第1项为：1
# 第2项为：1
# 第3项为：2
# 第4项为：3
# 第5项为：5
# 第6项为：8
# 第7项为：13
# 第8项为：21
# 第9项为：34
# 第10项为：55

四、尾递归

1、普通递归

n的阶乘：

def recursion(n):if n == 1:return nelse:return n * recursion(n-1)
print(recursion(5))#120

图解：

分析：
第一次循环：n = 5 返回值：5 * foo(4)
第二次循环：n = 4 返回值：5 * 4 * foo(3)
第三次循环：n = 3 返回值：5 * 4 * 3 * foo(2)
第四次循环：n = 2 返回值：5 * 4 * 3 * 2 * foo(1)
第五次循环：n = 1 返回值：5 * 4 * 3 * 2 * 1

这种普通递归是通过从执行第一个调用开始，都是调用下一个的递归来计算结果，这种方式在中途无法获取结果，只有所有递归都进行完毕才能得到结果。

这种方式虽然也能计算出最终的结果，但是无法操作中途的计算结果，随着递归的深入，之前的一些变量需要分配堆栈来保存。

2、尾递归

n的阶乘：

def tail_recursion(n, total = 1):if n == 1:return totalelse:return tail_recursion(n-1,  total * n)
print(tail_recursion(5))#120

图解：

分析：
第一次循环：n = 5 返回值：tail_recursion(5,1)
第二次循环：n = 4 返回值：tail_recursion(4,5)
第三次循环：n = 3 返回值：tail_recursion(3,20)
第四次循环：n = 2 返回值：tail_recursion(2,30)
第五次循环：n = 1 返回值：tail_recursion(1,120) = 120

尾递归相对传统递归，其是一种特例，实质上尾递归通过添加一个参数用于接收每一次调用后的结果，实现了释放上一次调用函数的栈内存。

在尾递归中，先执行某部分的计算，然后开始调用递归，所以可以得到当前的计算结果，而这个结果也将作为参数传入下一次递归。

这也就是说函数调用出现在调用者函数的尾部，因为是尾部，所以其有一个优越于传统递归之处在于无需去保存任何局部变量，从内存消耗上，实现节约特性。

因为进入最后一步后不再需要参考外层函数（caller）的信息，因此没必要保存外层函数的stack，递归需要用的stack只有目前这层函数的，因此避免了栈溢出风险