废话不多说，这节都是干货

我们继续讲第二个函数cov,需要区分的还是两个概念：协方差和样本协方差无偏估计值，此部分参考了博客相关内容http://blog.csdn.net/raocong2010/article/details/5941602，如图：

图中三个式子分别表示了样本的平均值、样本方差无偏估计值、样本协方差的无偏估计值，如果把S、C中的N-1换做N就成了表示方差与协方差了。

好了，开工！

函数名称：cov

函数功能： 求协方差矩阵

函数用法：

cov(X) % cov(X,0) = cov(X)

cov(X,Y) %

X,Y必须是各维数都相同的矩阵

cov(X,1) %

除以N而不是N-1 cov(X,Y,1) % 除以N而不是N-1

详细描述：

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if X is a vector向量，cov(X)输出的是这个向量的方差

例：

>> A = [4 1 3];

>> AA = cov(A)

AA =

2.3333

>> a = mean(A)

a =

2.6667

>> AAA =

1/3*((4-a)^2+(1-a)^2+(3-a)^2)

AAA =

1.5556

>> AAAA=

1/2*((4-a)^2+(1-a)^2+(3-a)^2) %同样，这个方差不是真正意义的方差，而是对样本统计方差的一个无偏估计值

AAAA =

2.3333

..............................................................................

For matrices, where each row is an observation, and each column

is a variable, cov(X) is the covariance matrix.

对于矩阵来说，matlab把每行看做一个观察值，把每列当做一个变量，也就是说对于一个4*3的矩阵求协方差矩阵，matlab会认为存在三个变量，即会求出一个3*3的协方差矩阵

其中，对角线元素为对应变量的方差无偏估计值，其他位置为对应变量间的 协方差无偏估计值(即除的是N-1)

但是需要注意的事，matlab在计算相关矩阵时，虽然把每一列的数作为一个随机变量的样本，但每一行必须作为一个这几个随机变量的联合样本

即第i个随机变量取第k行的样本值时，第j个随机变量也取第k行的样本值。

知道了这一点，我们就可以用协方差的公式代入来计算协方差矩阵了。

下面是一段算法的实现代码：

clc; clear all; M = 5 N = 3; % 生成一个M*N的随机原始矩阵 OriginMatrix = rand( M, N ); % 使用自带的cov函数计算相关矩阵 CovMatrix = cov( OriginMatrix ); MeanArray = mean( OriginMatrix ); MeanMatrix = ones( M, 1 ) * MeanArray; % 得到每列减去每列均值的的矩阵 OriginSubMean = OriginMatrix - MeanMatrix; % 计算出相关矩阵 if M == 1 CovMatrixComputed = OriginSubMean' * OriginSubMean /

M; else CovMatrixComputed = OriginSubMean' * OriginSubMean / ( M-1

); end

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例1：

>> X = [1 5 6; 4 3 9 ; 4 2 9; 4 7

2]

X =

1 5 6

4 3 9

4 2 9

4 7 2

>> Y = cov(X)

Y =

2.2500 -0.7500 0.5000

-0.7500 4.9167 -7.1667

0.5000 -7.1667 11.0000

为探究过程，以Y(1,1)和Y(1,2)为例进行验证

>> x=X(:,1);

>> sum((x-3.25).^2)/3

ans =

2.2500

>> y = X (:,2);

>> aa =

x'*y/3 %需要注意的是，每行看做一个观察值，每列看做一个变量，也就是说，每行显示的是联合观察值，加入对于第一个变量我们取1

，那么第二个变量就肯定取5，第三个变量就肯定是6

aa =

-0.7500

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对于cov(X,Y)

X、Y必须是各维数都相等的矩阵，其功能是把X中所有元素看做一个变量的样本，Y中所有元素看做另外一个变量的样本，把矩阵中每个对应位置看做一个联合观察值

函数实现的是求出两个变量的协方差矩阵

例2：

>> X

X =

1 5 6

4 3 9

4 2 9

4 7 2

>> Y = [1 6 7; 7 5 9 ; 1 6 4 ; 2 9

2]

Y =

1 6 7

7 5 9

1 6 4

2 9 2

>> cov(X,Y)

ans =

6.9697 4.4242

4.4242 8.4470

现在用(1,1)和(1,2)位置验证

>>

sum(sum((X-mean(mean(X))).^2))/11 %把X中每个元素都看做一个变量的样本，求其方差的无偏估计值

ans =

6.9697

>> sum(sum((X-mean(mean(X))).*(Y-mean(mean(Y)))))/11 %把X、Y矩阵对应位置元素看做一个联合样本，根据公式E[(X-EX)*(Y-EY)]求协方差

ans =

4.4242

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cov(X,1) 和 cov(X,Y,1)

与之前的求解过程一致，不同的是，其求出的是协方差，而不是样本的协方差无偏估计值，即其除以的是N 而不是N-1

例3：

>> cov(X,1)

ans =

1.6875 -0.5625 0.3750

-0.5625 3.6875 -5.3750

0.3750 -5.3750 8.2500

>> x=X(:,1);

sum((x-3.25).^2)/4 %不同之处

ans =

1.6875

>> y = X

(:,2);

>> y = y - 4.25;

>> aa = x'*y/4 %不同之处

aa =

-0.5625

例4：

X =

1 5 6

4 3 9

4 2 9

4 7 2

>> Y = [1 6 7; 7 5 9 ; 1 6 4 ; 2 9

2]

Y =

1 6 7

7 5 9

1 6 4

2 9 2

>> cov(X,Y)

ans =

6.9697 4.4242

4.4242 8.4470

>> a =cov(X,Y,1)

a =

6.3889 4.0556

4.0556 7.7431

>>

a.*12/11 %看出来了吧

ans =

6.9697 4.4242

4.4242 8.4470

额，二师兄，到高老庄了