第一类换元法三角函数专题

前置知识：

第一类换元法（凑微分法）
三角函数公式

前言

在使用第一类换元法做题时，常常会遇到一些包含三角函数的形式复杂的题，比如包含高次的三角函数或若干个三角函数组成分母等，在本篇文章对解题思路做一个简单的引导，也教大家一些做题的技巧。

普通的三角函数积分

题1： 计算 ∫ tan ⁡ x d x \int \tan xdx ∫tanxdx

解：原式 = sin ⁡ x cos ⁡ x d x = − ∫ 1 cos ⁡ x d ( cos ⁡ x ) = − ln ⁡ ∣ cos ⁡ x ∣ + C =\dfrac{\sin x}{\cos x}dx=-\int \dfrac{1}{\cos x}d(\cos x)=-\ln|\cos x|+C =cosxsinxdx=−∫cosx1d(cosx)=−ln∣cosx∣+C

这一类题并不复杂，只需要简单地使用公式即可。

含高次三角函数的积分

题1： 计算 ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 3 x d x \int \sin^4 x\cos^3xdx ∫sin4xcos3xdx

解：原式 = ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x cos ⁡ x d x =\int \sin^4x\cos^2x\cos xdx =∫sin4xcos2xcosxdx

= ∫ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 2 x d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \sin^4x\cos^2 xd(\sin x) =∫sin4xcos2xd(sinx)

= ∫ sin ⁡ 4 x ( 1 − sin ⁡ 2 x ) d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad =\int \sin^4 x(1-\sin^2 x)d(\sin x) =∫sin4x(1−sin2x)d(sinx)

= ∫ ( sin ⁡ 4 x − sin ⁡ 6 x ) d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int(\sin^4 x-\sin ^6 x)d(\sin x) =∫(sin4x−sin6x)d(sinx)

= 1 5 sin ⁡ 5 x − 1 7 sin ⁡ 7 x + C \qquad\qquad=\dfrac 15\sin^5 x-\dfrac 17\sin^7 x+C =51sin5x−71sin7x+C

题2： 计算 ∫ tan ⁡ 5 x sec ⁡ 3 x d x \int \tan^5 x\sec^3 xdx ∫tan5xsec3xdx

解：原式 = ∫ tan ⁡ 4 x sec ⁡ 2 x tan ⁡ x sec ⁡ x d x =\int \tan ^4 x\sec^2 x \tan x\sec xdx =∫tan4xsec2xtanxsecxdx

= ∫ tan ⁡ 4 x sec ⁡ 2 x d ( sec ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \tan^4x\sec^2 xd(\sec x) =∫tan4xsec2xd(secx)

= ∫ ( sec ⁡ 2 x − 1 ) 2 sec ⁡ 2 x d ( sec ⁡ x ) \qquad\qquad=\int (\sec^2x-1)^2\sec^2xd(\sec x) =∫(sec2x−1)2sec2xd(secx)

= ∫ ( sec ⁡ x 6 − sec ⁡ 4 x + sec ⁡ 2 x ) d ( sec ⁡ x ) \qquad\qquad=\int(\sec x^6-\sec^4 x+\sec^2 x)d(\sec x) =∫(secx6−sec4x+sec2x)d(secx)

= 1 7 sec ⁡ 7 x − 2 5 sec ⁡ 5 x + 1 3 sec ⁡ 3 x + C \qquad\qquad=\dfrac 17\sec^7 x-\dfrac 25\sec^5 x+\dfrac 13\sec^3 x+C =71sec7x−52sec5x+31sec3x+C

题3： 计算 ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 5 x d x \int \sin^2x\cos^5 xdx ∫sin2xcos5xdx

解：原式 = ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x cos ⁡ x d x =\int \sin^2 x\cos^4 x\cos xdx =∫sin2xcos4xcosxdx

= ∫ sin ⁡ 2 x cos ⁡ 4 x d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \sin^2 x\cos^4 xd(\sin x) =∫sin2xcos4xd(sinx)

= ∫ sin ⁡ 2 x ( 1 − sin ⁡ 2 x ) 2 d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \sin^2 x(1-\sin^2 x)^2d(\sin x) =∫sin2x(1−sin2x)2d(sinx)

= ∫ ( sin ⁡ 6 x − 2 sin ⁡ 4 x + sin ⁡ 2 x ) d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int (\sin^6 x-2\sin^4 x+\sin^2 x)d(\sin x) =∫(sin6x−2sin4x+sin2x)d(sinx)

= 1 7 sin ⁡ 7 x − 2 5 sin ⁡ 5 x + 1 3 sin ⁡ 3 x + C \qquad\qquad=\dfrac 17\sin^7 x-\dfrac 25\sin^5 x+\dfrac 13\sin^3 x+C =71sin7x−52sin5x+31sin3x+C

这类题目是纯三角函数的变换，先凑出一个 d f ( x ) df(x) df(x)，要通过公式将所有函数转化为同一个三角函数。主要的公式是 sin ⁡ 2 x + cos ⁡ 2 x = 1 \sin^2 x+\cos^2 x=1 sin2x+cos2x=1和 tan ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x} tanx=cosxsinx等，偶尔也会需要一些复杂的公式。

分母包含三角函数的积分

题1： 计算 ∫ 1 sin ⁡ 2 x + 2 cos ⁡ 2 x d x \int \dfrac{1}{\sin^2 x+2\cos^2 x}dx ∫sin2x+2cos2x1dx

解：原式 = ∫ 1 tan ⁡ 2 x + 2 ⋅ 1 cos ⁡ 2 x d x =\int \dfrac{1}{\tan^2 x+2}\cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}dx =∫tan2x+21⋅cos2x1dx

= ∫ 1 tan ⁡ 2 x + 2 ⋅ sec ⁡ 2 x d x \qquad\qquad=\int \dfrac{1}{\tan^2 x+2}\cdot \sec^2 xdx =∫tan2x+21⋅sec2xdx

= 1 2 ∫ 1 1 + ( tan ⁡ x 2 ) 2 d ( tan ⁡ x ) \qquad\qquad=\dfrac 12\int \dfrac{1}{1+(\frac{\tan x}{\sqrt 2})^2}d(\tan x) =21∫1+(2 tanx)21d(tanx)

= 2 2 ∫ 1 1 + ( tan ⁡ x 2 ) 2 d ( tan ⁡ x 2 ) \qquad\qquad=\dfrac{\sqrt 2}{2}\int \dfrac{1}{1+(\frac{\tan x}{\sqrt 2})^2}d(\dfrac{\tan x}{\sqrt 2}) =22 ∫1+(2 tanx)21d(2 tanx)

= 2 2 arctan ⁡ 2 tan ⁡ x 2 + C \qquad\qquad=\dfrac{\sqrt 2}{2}\arctan \dfrac{\sqrt 2\tan x}{2}+C =22 arctan22 tanx+C

题2： 计算 ∫ 1 cos ⁡ 2 x + 4 sin ⁡ 2 x d x \int \dfrac{1}{\cos^2 x+4\sin^2 x}dx ∫cos2x+4sin2x1dx

解：原式 = ∫ 1 1 + 4 tan ⁡ 2 x ⋅ 1 cos ⁡ 2 x d x =\int \dfrac{1}{1+4\tan^2 x}\cdot\dfrac{1}{\cos^2 x}dx =∫1+4tan2x1⋅cos2x1dx

= ∫ 1 1 + 4 tan ⁡ 2 x ⋅ sec ⁡ 2 x d x \qquad\qquad=\int \dfrac{1}{1+4\tan^2 x}\cdot\sec^2 xdx =∫1+4tan2x1⋅sec2xdx

= ∫ 1 1 + ( 2 tan ⁡ x ) 2 d ( tan ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \dfrac{1}{1+(2\tan x)^2}d(\tan x) =∫1+(2tanx)21d(tanx)

= 1 2 ∫ 1 1 + ( 2 tan ⁡ x ) 2 d ( 2 tan ⁡ x ) \qquad\qquad=\dfrac 12\int\dfrac{1}{1+(2\tan x)^2}d(2\tan x) =21∫1+(2tanx)21d(2tanx)

= 1 2 arctan ⁡ ( 2 tan ⁡ x ) + C \qquad\qquad=\dfrac 12\arctan(2\tan x)+C =21arctan(2tanx)+C

题3： 计算 ∫ cos ⁡ 3 x sin ⁡ x d x \int \dfrac{\cos^3 x}{\sqrt{\sin x}}dx ∫sinx cos3xdx

解：原式 = ∫ cos ⁡ 2 x sin ⁡ x cos ⁡ x d x =\int \dfrac{\cos^2 x}{\sqrt{\sin x}}\cos xdx =∫sinx cos2xcosxdx

= ∫ 1 − sin ⁡ 2 x sin ⁡ x d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int \dfrac{1-\sin^2 x}{\sqrt{\sin x}}d(\sin x) =∫sinx 1−sin2xd(sinx)

= ∫ ( sin ⁡ − 1 2 x + sin ⁡ 3 2 x ) d ( sin ⁡ x ) \qquad\qquad=\int (\sin^{-\frac 12} x+\sin^{\frac 32} x)d(\sin x) =∫(sin−21x+sin23x)d(sinx)

= 2 sin ⁡ 1 2 x + 2 5 sin ⁡ 5 2 x + C \qquad\qquad=2\sin^{\frac 12}x+\dfrac 25\sin^{\frac 52}x+C =2sin21x+52sin25x+C

这类题目有时候还要借用一些其他的积分公式，如 ∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C \int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C ∫1+x21dx=arctanx+C。一般都是使用这些 x x x在分母的积分公式。

包含三角函数的复合函数积分

题1： 计算 ∫ x cos ⁡ ( x 2 + 2 ) d x \int x\cos(x^2+2)dx ∫xcos(x2+2)dx

解：原式 = 1 2 ∫ cos ⁡ ( x 2 + 2 ) d ( x 2 + 2 ) = 1 2 sin ⁡ ( x 2 + 2 ) + C =\dfrac 12\int \cos(x^2+2)d(x^2+2)=\dfrac 12\sin(x^2+2)+C =21∫cos(x2+2)d(x2+2)=21sin(x2+2)+C

题2： 计算 ∫ sin ⁡ x x d x \int \dfrac{\sin\sqrt x}{\sqrt x}dx ∫x sinx dx

解：原式 = 2 ∫ sin ⁡ x d ( x ) = − 2 cos ⁡ x + C =2\int \sin\sqrt xd(\sqrt x)=-2\cos\sqrt x+C =2∫sinx d(x )=−2cosx +C

题3： 计算 ∫ cos ⁡ ( e x ) sin ⁡ 3 ( e x ) e x d x \int \cos(e^x)\sin^3(e^x)e^xdx ∫cos(ex)sin3(ex)exdx

解：原式 = ∫ sin ⁡ 3 ( e x ) cos ⁡ ( e x ) d ( e x ) =\int \sin^3(e^x)\cos(e^x)d(e^x) =∫sin3(ex)cos(ex)d(ex)

= ∫ sin ⁡ 3 ( e x ) d ( sin ⁡ e x ) \qquad\qquad=\int \sin^3(e^x)d(\sin e^x) =∫sin3(ex)d(sinex)

= 1 4 sin ⁡ 4 ( e x ) + C \qquad\qquad=\dfrac 14\sin^4(e^x)+C =41sin4(ex)+C

这类题目因为包含三角函数的复合函数，所以考察点一般在复合函数积分，对三角函数公式的掌握的考察相对较少，主要考察还是三角函数的一些简单运用。

总结

用第一类换元法做包含三角函数的积分题，不仅要掌握好第一类换元法的一些知识，还要能灵活运用三角函数公式。