实验六  特征值与特征向量、若当标准形

【实验目的】

1．了解特征值与特征向量基本概念及其性质；

2．了解若当标准型的基本概念；

3．学习、掌握MATLAB软件有关的命令。

【实验准备】

1．特征多项式

设A为n阶方阵, 如果数“ ”和n维列向量x使得关系式 成立, 则称 为方阵A的特征值, 非零向量x称为A对应于特征值“ ”的特征向量。

poly(A)，返回矩阵A的特征多项式的向量表示形式，例如：

>> clear

>> A=[1 0;2 3];

>> p=poly(A)         %矩阵A的特征多项式的向量表示形式

p =

1    -4     3

>> f=poly2str(p,’x’)     %矩阵A的特征多项式

f =

x^2 – 4 x + 3

或者由定义出发，计算特征多项式.例如：

>> clear

>> A=[1 0;2 3];

>> E=eye(2);        %2阶单位阵

>> syms x

>> f=det(x*E-A)      %矩阵A的特征多项式

f =

(x-1)*(x-3)

2．特征值与特征向量eigenvalue

求一个方阵的特征值与特征向量可以使用函数eig( ).

d=eig(A),  返回A所有特征值组成的列向量d.

[V,D]= eig(A),  返回A所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V.

[V,D]= eigs(A), 返回A所有特征值(按大小次序)组成的对角矩阵D和特征向量组成的矩阵V，且满足D=V-1AV.

d=eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的向量d.

[V,D]= eig(A,B), 返回复数矩阵A+Bi所有特征值组成的矩阵D和特征向量组成的矩阵V.

例如：

>> clear

（>> format）（>> format rat）

>> A=[0 1 0 0;1 0 0 0;0 0 0 1;0 0 1 0];

>> d=eig(A)     %求矩阵A的特征值

d =

1

-1

1

-1

>> %特征值以列向量的形式输出，例如：

>> [V,D]=eig(A)      %求矩阵A的特征值与特征向量所组成的矩阵

V =

-0.7071         0         0    0.7071

0.7071         0         0    0.7071

0   -0.7071    0.7071         0

0    0.7071    0.7071         0

D =

-1     0     0     0

0    -1     0     0

0     0     1     0

0     0     0     1

>>%说明（1）矩阵D的主对角线上的元素为特征值，所以方阵A的特征值为-1（二重），1（二重）.

>>%说明（2）特征值-1对应的特征向量为V中的第1、2列，即  (-0.7071 0.7071  0  0)T

(0  0 -0.7071 0.7071)T   ，其中 为任意常数，

特征值1的特征向量为V中的第3、4列，即  (0  0  0.7071 0.7071)T

( 0.7071 0.7071  0  0)T   ，其中 为任意常数。

>> V=sym(V)      %以符号的形式输出矩阵V

V =

[ -sqrt(1/2),         0,          0,  sqrt(1/2)]

[ sqrt(1/2),          0,          0,  sqrt(1/2)]

[       0,   -sqrt(1/2),    sqrt(1/2),       0]

[       0,    sqrt(1/2),    sqrt(1/2),       0]

>> V^-1*A*V   %验证D=V^-1AV

ans =

[ -1,  0,  0,  0]

[  0, -1,  0,  0]

[  0,  0,  1,  0]

[  0,  0,  0,  1]

3.提高特征值的计算精度

函数  balance

格式  [T,B] = balance(A)   %求相似变换矩阵T和平衡矩阵B, 满足 。

B = balance(A)      %求平衡矩阵B

4．实对称矩阵的对角化

实对称矩阵的对角化  [P,D]= eig(A)  D为对角化后的矩阵，P为正交阵.

在Matlab中，我们运用函数eig求出二次型矩阵A的特征值矩阵D和特征向量矩阵P，所求的矩阵D即为系数矩阵A的标准形，矩阵P即为二次型的变换矩阵.例如：

>> clear

>> A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5];     %实对称矩阵A

>> [P,D]=eig(A)      %矩阵A的对角化

P=

-0.2981    0.8944    0.3333

-0.5963   -0.4472    0.6667

-0.7454         0   -0.6667

D =

1.0000         0         0

0    1.0000         0

0         0   10.0000

4．若当标准形

若当标准型可用函数jordan( ) 来求.

J = jordan(A), 其中J为A的若当标准型。例如matlab代码：

>> clear

>> A=[2 1 0;-1 0 0;-1 1 2];    %矩阵A

>> jordan(A)      %矩阵A的若当标准形

运算结果为：

ans =

2            0            0

0            1            1

0            0            1

注意：Matlab中若当块是按上三角形定义的。

5．其他相关函数

矩阵的迹  trace(A)

将复对角矩阵转换为实对角矩阵  [V,D]=cdf2rdf(v,d)  在对角线上用2*2实数块代替共轭复数对.

矩阵元素求和函数 sum(A,dim)，dim=1则按列求和，dim=2则按行求和

sum(sum(A,1),2)  返回矩阵A的所有元素之和.

矩阵元素求积函数 prod(A,dim)，dim=1则按列求积，dim=2则按行求积。

prod（prod(A, 1)，2）返回矩阵A的所有元素之积.

【实验内容】

例6-1：求矩阵 的特征值与特征向量

，并将其对角化.

解一：

相应的matlab代码及运算结果如下：

>>clear

>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

>> d=eig(A)        %求全部特征值所组成的向量

d =

-1.0000

-1.0000

5.0000

>> [V,D]=eig(A)     %求特征值及特征向量所组成的矩阵

V =

0.6015    0.5522    0.5774

0.1775   -0.7970    0.5774

-0.7789    0.2448    0.5774

D =

-1.0000         0         0

0   -1.0000         0

0         0    5.0000

>> inv(V)*A*V

ans =

-1.0000         0   -0.0000

0   -1.0000   -0.0000

-0.0000    0.0000    5.0000

>> %A可对角化，且对角矩阵为D

解二：

相应的matlab代码及运算结果如下：

>> clear

>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

>> p=poly(A)       %矩阵A的特征多项式的向量表示形式

p =

1    -3    -9    -5

>> roots(f)        %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值

ans =

5.0000

-1.0000 + 0.0000i

-1.0000 – 0.0000i

解三：

相应的matlab代码及运算结果如下：

>> clear

>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

>> E=eye(3);

>> syms x

>> f=det(x*E-A)      %矩阵A的特征多项式

f =

x^3-3*x^2-9*x-5

>> solve(f)        %矩阵A的特征多项式的根，即A的特征值

ans =

5

-1

-1

>> %所以A的特征值为x1=5,x2=x3=-1.

>> %（1）当x1=5时，求解（x1*E—A）X=0，得基础解系

>> syms y

>> y=5;

>> B=y*E-A;

>> b1=sym(null(B))      %b1为（x1*E—A）X=0基础解系

b1 =

sqrt(1/3)

sqrt(1/3)

sqrt(1/3)

>>%所以b1是属于特征值5的特征向量在基下的坐标

>> %（2）当x2=-1时，求解（x2*E—A）X=0，得基础解系

>> y=-1;

>> B=y*E-A;

>> b2=sym(null(B))      %b1为（x2*E—A）X=0基础解系

null(A)齐次线性方程组   A*Z=0的基础解系：

b2 =

[  sqrt(2/3),          0]

[ -sqrt(1/6),    -sqrt(1/2)]

[ -sqrt(1/6),     sqrt(1/2)]

>> b21=b2(:,1),b22=b2(:,2)

b21 =

sqrt(2/3)

-sqrt(1/6)

-sqrt(1/6)

b22 =

0

-sqrt(1/2)

sqrt(1/2)

%b21，b22是属于特征值-1的特征向量在基下的坐标

>> T=[b1,b2]        %所有特征向量在基下的坐标所组成的矩阵

T =

[  sqrt(1/3),  sqrt(2/3),          0]

[  sqrt(1/3), -sqrt(1/6), -sqrt(1/2)]

[  sqrt(1/3), -sqrt(1/6),  sqrt(1/2)]

>> D=T^-1*A*T     %将矩阵A对角化，得对角矩阵D

D =

[  5,  0,  0]

[  0, -1,  0]

[  0,  0, -1]

例6-2：将矩阵 对角化，并将复对角矩阵转换为实对角矩阵

相应的matlab代码及运算结果如下：

>> clear

>> A=[0 2 1;-2 0 3;-1 -3 0];

>> [v,d]=eig(A)      %求特征值及特征向量所组成的矩阵

v =

-0.8018            -0.1572 + 0.3922i  -0.1572 – 0.3922i

0.2673            -0.6814            -0.6814

-0.5345            -0.1048 – 0.5883i  -0.1048 + 0.5883i

d =

0                  0                  0

0                  0 + 3.7417i        0

0                  0                  0 – 3.7417i

>> [V,D]=cdf2rdf(v,d)       %复对角矩阵转换为实对角矩阵

V =

-0.8018   -0.1572    0.3922

0.2673   -0.6814         0

-0.5345   -0.1048   -0.5883

D =

0         0         0

0         0    3.7417

0   -3.7417         0

>>%说明：在对角线上用2×2实数块代替共轭复数对，由D可知A的特征值为1，

3.7417i和-3.7417i.

>> V1=V(:,1),V2=V(:,2),V3=V(:,3);     %由V可知A的两个共轭特征向量为V2+ V3*i，即：

>> V2+V3*i

ans =

-0.1572 + 0.3922i

-0.6814

-0.1048 – 0.5883i

>> V2-V3*i

ans =

-0.1572 – 0.3922i

-0.6814

-0.1048 + 0.5883i

例6-3：求例6-1中矩阵A的迹，并验证 .

相应的matlab代码及运算结果如下：

>>clear

>> A= [1 2 2;2 1 2; 2 2 1];

>> a=trace(A)      %求矩阵A的迹

a =

3

>> d=eig(A)         %求矩阵A的特征值

d =

-1.0000

-1.0000

5.0000

>> b=sum(d,1)      %矩阵d元素求和

b =

3

>>%说明：A的所有特征值之和为A的迹

>> e=det(A)

e =

5

>> f=prod(d,1)       %矩阵d元素求积，即特征值求积

f =

5

>>%说明：A的行列式值等于所有特征值乘积.

>>%（1）函数sum(A,dim)是矩阵元素求和函数，dim=1则按列求和，dim=2则按行求和。

>>%（2）函数prod(A,dim)是矩阵元素求积函数，dim=1则按列求积，dim=2则按行求积。

例6-4：求矩阵 的若当标准型。

相应的matlab代码及运算结果如下：

>> clear

>> A=[-1 -2 6;-1 0 3;-1 -1 4]

A =

-1    -2     6

-1     0     3

-1    -1     4

>> J=jordan(A)        %矩阵A的若当标准形

J =

1     1     0

0     1     0

0     0     1

>>%说明：Matlab中若当块是按上三角形定义的.