牛顿法、雅克比矩阵、海森矩阵
转自:https://blog.csdn.net/Yan456jie/article/details/52332043
一般来说, 牛顿法主要应用在两个方面, 1, 求方程的根; 2, 最优化。
1,求方程的根
其原理便是使用泰勒展开,然后去线性部分,即:
(1) (得到的是x在x0附近的一阶线性方程,即下图中那条切线)
然后令上式等于0,则有: (令其为0即切线与x轴交点)
(2)
经过不断迭代:
(3)
当精度达到要求的时候停止迭代。
迭代示意图如上所示。
2,最优化
最优化一般是求极大或极小问题,这可以转变为求导数零点,然后转变为1的情形。
即f' = 0;
把f(x)用泰勒公式展开到二阶,即:
(4)
等号左边和f(x)近似相等,抵消。然后对求导,得到:
(5)
更进一步:
(6)
然后得到迭代式子:
(7)
以上只针对单变量进行讨论,如果对多变量就要引入雅克比矩阵和海森矩阵
简单介绍一下二者,雅克比矩阵为函数对各自变量的一阶导数,海森矩阵为函数对自变量的二次微分。形式分别如下:
把两个矩阵代入(7)中
参考文献:
Newton's method -- wikipedia
Jacobian矩阵和Hessian矩阵
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