梯度、雅克比矩阵、海森矩阵、多元泰勒公式

梯度向量的表达式为：
[∂f∂x1∂f∂x2...∂f∂xn]=[∂f∂x1∂f∂x2..∂f∂xn]T\left[ \begin{array} { c c } {\frac {\partial{f}} {\partial x_{1}}} \\ {\frac {\partial{f}} {\partial x_{2}}} \\ ...& \\ {\frac {\partial{f}} {\partial x_{n}}} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } {\frac {\partial{f}} {\partial x_{1}}} & {\frac {\partial{f}} {\partial x_{2}}} ..& & {\frac {\partial{f}} {\partial x_{n}}} \end{array} \right]^{T} ⎣⎢⎢⎢⎡∂x1∂f∂x2∂f...∂xn∂f⎦⎥⎥⎥⎤=[∂x1∂f∂x2∂f..∂xn∂f]T

雅克比矩阵的表达式为：
[∂y1∂x1∂y1∂x2...∂y1∂xn∂y2∂x1∂y2∂x2...∂y2∂xn............∂ym∂x1∂ym∂x2...∂ym∂xn]\left[ \begin{array} { c c } {\frac {\partial{y_{1}}} {\partial x_{1}}} & { \frac {\partial{y_{1}}} {\partial x_{2}} } &...& { \frac {\partial{y_{1}}} {\partial x_{n}} } \\ {\frac {\partial{y_{2}}} {\partial x_{1}}} & { \frac {\partial{y_{2}}} {\partial x_{2}} } &...& { \frac {\partial{y_{2}}} {\partial x_{n}} } \\ ...& ... & ...& ... \\ {\frac {\partial{y_{m}}} {\partial x_{1}}} & { \frac {\partial{y_{m}}} {\partial x_{2}} } &...& { \frac {\partial{y_{m}}} {\partial x_{n}} } \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡∂x1∂y1∂x1∂y2...∂x1∂ym∂x2∂y1∂x2∂y2...∂x2∂ym............∂xn∂y1∂xn∂y2...∂xn∂ym⎦⎥⎥⎥⎤
从表达式来看，是对多个y和多个x之间的关系，这表示的并不是多元函数，而是多元函数方程组之间的偏导关系。

海森矩阵的表达式为：
[∂2f∂x12∂2f∂x1∂x2...∂2f∂x1∂xn∂2f∂x2∂x1∂2f∂x22...∂2f∂x2∂xn............∂2f∂xn∂x1∂2f∂xn∂x2...∂2f∂xn2]\left[ \begin{array} { c c } {\frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{1}^{2} }} & { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{1} \partial x_{2}} } &...& { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{1} \partial x_{n}} } \\ {\frac {\partial^{2} {f}} {\partial x_{2} \partial x_{1}}} & { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{2}^{2}} } &...& { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{2} \partial x_{n}} } \\ ...& ... & ...& ... \\ {\frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{n} \partial x_{1}}} & { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{n} \partial x_{2}} } &...& { \frac {\partial ^{2}{f}} {\partial x_{n}^{2}} } \end{array} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡∂x12∂2f∂x2∂x1∂2f...∂xn∂x1∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22∂2f...∂xn∂x2∂2f............∂x1∂xn∂2f∂x2∂xn∂2f...∂xn2∂2f⎦⎥⎥⎥⎥⎤
多元泰勒公式的表达式为：
f(x)=f(x0)+(∇f(x0))T(x−x0)+12!(x−x0)TH(x0)(x−x0)+O(x−x0)2f(x)=f(x_{0}) + ({\nabla f(x_{0})})^{T}(x-x_{0})+ \frac{1}{2!} {(x-x_{0})}^TH(x_{0})(x-x_{0})+O{(x-x_{0})}^{2} f(x)=f(x0)+(∇f(x0))T(x−x0)+2!1(x−x0)TH(x0)(x−x0)+O(x−x0)2

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