Hamiltonian Cycle（哈密顿回路）

对于无向图来说，哈密顿路径对于图每个顶点只访问一次。哈密顿回路（或哈密顿循环）是一个哈密顿路径，并且从哈密顿路径的最后一个顶点到第一个顶点存在边缘（也就是可以回到初始位置）。确定给定图是否包含哈密顿回路。如果包含，则打印路径。以下是所需功能的输入和输出。

输入：2D阵列graph[V][V](其中V是图中的顶点数，通过邻接矩阵表示)。如果从i到j存在一条边，则graph[i][j]为1，否则graph[i][j]为0。

输出：包含哈密顿回路的path[V]。 path[i]应该表示哈密顿回路中的第i个顶点。如果图中没有哈密顿回路，代码也应该返回false。

例如，下图中的哈密顿回路是{0,1,2,4,3,0}。

(0)--(1)--(2)|   / \   ||  /   \  | | /     \ |
(3)-------(4)

并且下图不包含任何哈密尔顿回路。

(0)--(1)--(2)|   / \   ||  /   \  | | /     \ |
(3)      (4)

解题思路

最简单的思路就是，生成顶点的全排列，然后循环遍历每个排列是不是满足条件。伪代码

当存在未遍历到的组合时
{if（两个连续顶点之间有边并且最后一个顶点和初始点是相连通的）。{打印这种排列方式。break;}
}

这种算法的时间复杂度是O(n!)级别的，显然如果n较大的话，那么这种做法是不合理的。我们可以使用回溯法解决这个问题。

我们首先创建一个空的path，并且将0这个点加入其中。然后我们从1开始添加后续顶点。在添加后续顶点之前，我们首先要检查这些顶点是不是与之前添加的顶点相邻并且我们没有添加过。如果找到了这样的点的话，我们就将它添加到path中去，接着我们就要判断下一个位置的点，在此之前我们先要判断我们现在path中点的数量是不是已经是全部点的个数了，如果是的话我们要判断头结点和尾节点是不是存在边，如果存在的话，我们就输出path，如果不存在，我们就要将刚才加入的点给弹出，继续加入下一个有效点测试。

下面是回溯法解决问题的代码：

class Graph: def __init__(self, vertices): self.graph = [[0 for column in range(vertices)]\for row in range(vertices)] self.V = vertices '''Check if this vertex is an adjacent vertex  of the previously added vertex and is not  included in the path earlier '''def isSafe(self, v, pos, path): # Check if current vertex and last vertex  # in path are adjacent if self.graph[ path[pos-1] ][v] == 0: return False# Check if current vertex not already in path for vertex in path: if vertex == v: return Falsereturn True# A recursive utility function to solve  # hamiltonian cycle problem def hamCycleUtil(self, path, pos): # base case: if all vertices are  # included in the path if pos == self.V: # Last vertex must be adjacent to the  # first vertex in path to make a cyle if self.graph[ path[pos-1] ][ path[0] ] == 1: return Trueelse: return False# Try different vertices as a next candidate  # in Hamiltonian Cycle. We don't try for 0 as  # we included 0 as starting point in in hamCycle() for v in range(1,self.V): if self.isSafe(v, pos, path) == True: path[pos] = v if self.hamCycleUtil(path, pos+1) == True: return True# Remove current vertex if it doesn't  # lead to a solution path[pos] = -1return Falsedef hamCycle(self): path = [-1] * self.V ''' Let us put vertex 0 as the first vertex  in the path. If there is a Hamiltonian Cycle,  then the path can be started from any point of the cycle as the graph is undirected '''path[0] = 0if self.hamCycleUtil(path,1) == False: print("Solution does not exist")return Falseself.printSolution(path) return Truedef printSolution(self, path): print("Solution Exists: Following is one Hamiltonian Cycle")for vertex in path: print(vertex, end=' ') print(path[0])# Driver Code '''Let us create the following graph (0)--(1)--(2) |   / \   | |  /   \  | | /     \ | (3)-------(4)
'''
g1 = Graph(5)
g1.graph = [ [0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 1],  [0, 1, 0, 0, 1,],[1, 1, 0, 0, 1],  [0, 1, 1, 1, 0], ] # Print the solution
g1.hamCycle()'''
Let us create the following graph (0)--(1)--(2) |   / \   | |  /   \  | | /     \ | (3)       (4)
'''
g2 = Graph(5)
g2.graph = [ [0, 1, 0, 1, 0], [1, 0, 1, 1, 1],  [0, 1, 0, 0, 1,], [1, 1, 0, 0, 0],  [0, 1, 1, 0, 0], ] # Print the solution
g2.hamCycle()# This code is contributed by Divyanshu Mehta

reference:

https://www.geeksforgeeks.org/hamiltonian-cycle-backtracking-6/

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