• 作者:邹奇峰
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  • 博客:http://blog.csdn.net/qifengzou
  • 日期:2013.12.24 21:00
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1 引言

在之前的博文中,本人对平衡二叉树的处理做了较详尽的分析,有兴趣的朋友可以参阅博文《算法导论 之 平衡二叉树 - 创建 插入 搜索 销毁》和《算法导论 之 平衡二叉树 - 删除》。平衡二叉树AVL是严格的平衡树,在增删结点时,其旋转操作的次数较多;而红黑树RBT则通过非严格的平衡来换取增删结点时旋转次数的降低。在应用中,如果搜索次数大于增删次数,则选择平衡二叉树更好一些;而如果搜索与增删次数接近时,红黑树则是更好的选择。在有些资料中显示,红黑树的统计性能要优于平衡二叉树。

2 性质分析

红黑树是一种二叉查找树,但在每个节点上增加一个存储位表示结点的颜色[RED或BLACK]。通过对任一结点到叶子结点的路径上各个结点着色方式的限制,确保没有一条路径会是其他路径的2倍,因而是接近平衡的!因此,它能保证在最坏情况下,基本的动态集合操作的时间复杂度为O(log2@N)[log2@N:以2为底数,N为对数]。[注:理论上平衡二叉树的性能要优于红黑树,但是仍处同一数量级]

图1 红黑树

红黑树有以下5种性质,所有对红黑树的处理都是围绕这5种性质进行的。但是想通过以下5种性质的简单描述就期望能够深入理解红黑树,这似乎是不太可能的事情。因此,下面将结合图1对其5种性质进行分别的解析。

①、每个节点要么是红色的,要么是黑色的;

解析:任何一个结点都有一种颜色 —— 非红即黑。从图1中可以清楚的看出这一点。

②、根结点是黑色的;

解析:根结点只能为黑色,不可能为红色。如图1中的根结点为13,其为黑色。

③、所有叶子结点(NIL)都是黑色的;

解析:在图1中的所有叶子结点(NIL)的颜色只能为黑色的,不可能为红色。

④、如果一个结点是红色,则它的两个儿子都是黑色的;

解析:如图1中的结点6、8、17、22、27为红色结点,其左右孩子结点只能为黑色。即:树中决不允许存在两个连续的红色结点。[注:但是允许两个连续的黑色结点]

⑤、对任何一个结点,从该结点通过其子孙结点到达叶子结点(NIL)的所有路径上包含相同数目的黑结点。

解析:以根结点为例,其通过子孙结点到达叶子节点(NIL)的路径有如下几种情况:

路径1:13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 叶子(b)            | 3个黑结点:13、1、叶子

路径2:13(b) -> 8(r) -> 11(b) -> 叶子(b)           | 3个黑结点:13、11、叶子

路径3:13(b) -> 8(r) -> 1(b) -> 6(r) -> 叶子(b)    | 3个黑结点:13、1、叶子

路径4: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 22(r) -> 叶子(b) | 3个黑结点:13、25、叶子

路径5: 13(b) -> 17(r) -> 25(b) -> 27(r) -> 叶子(b) | 3个黑结点:13、25、叶子

路径6: 13(b) -> 17(r) -> 15(b) -> 叶子(b)          | 3个黑结点:13、15、叶子

....

至此,大家应该能够明白性质⑤的真实含义了。

为了便于处理红黑树代码的边界条件,我们采用一个哨兵来代表NIL。对于一个红黑树而言,哨兵NIL是一个与树内普通结点有相同域的对象。它的color域为BLACK,而其他域(parent,lchild,rchild和key)的值我们并不关心。

总之,红黑树是通过以上5种性质的限制约束了该树的平衡性能 —— 即:该树上的最长路径长度不可能大于最短路径长度的2倍,从而确保对树操作的时间复杂度达到O(log2@N)。

3 编码实现

3.1 结构定义

①、常值定义:增强代码可读性、方便代码修改

/* 常值定义 */
#define RBT_COLOR_BLACK    'b'     /* 颜色:黑色 */
#define RBT_COLOR_RED      'r'     /* 颜色:红色 */#define RBT_LCHILD         (0)     /* 类型:左孩子 */
#define RBT_RCHILD         (1)     /* 类型:右孩子 */#define RBT_MAX_DEPTH      (512)   /* 栈的深度(栈处理红黑树时使用) */

代码1 常值定义

②、节点结构:在二叉查找树的结构基础上,新增color字段

/* 结点结构 */
typedef struct _rbt_node_t {int key;                        /* 关键字 */int color;                      /* 结点颜色: RBT_COLOR_BLACK(黑) 或 RBT_COLOR_RED(红) */struct _rbt_node_t *parent;     /* 父节点 */struct _rbt_node_t *lchild;     /* 左孩子节点 */struct _rbt_node_t *rchild;     /* 右孩子节点 */
} rbt_node_t;

代码2 结点结构

③、树结构:sentinel字段用于表示叶子结点(NIL)。当树内结点的左(右)孩子为叶子结点时,则将左(右)孩子指针指向sentinel字段。

/* 红黑树结构 */
typedef struct {rbt_node_t *root;               /* 根节点 */rbt_node_t *sentinel;           /* 哨兵节点 */
} rbt_tree_t;

代码3 树结构

④、错误码:用来记录错误返回的类型,以便快速的确定程序中存在的异常

/* 错误码 */
typedef enum {RBT_SUCCESS                     /* 成功 */, RBT_FAILED = ~0x7fffffff      /* 失败 */, RBT_NODE_EXIST                /* 结点存在 */
}rbt_ret_e;

代码4 错误码

⑤、宏定义:可有效的增强代码的简洁性、复用性、易读性

#define rbt_set_color(node, c)  ((node)->color = (c))
#define rbt_set_red(node)   rbt_set_color(node, RBT_COLOR_RED)
#define rbt_set_black(node) rbt_set_color(node, RBT_COLOR_BLACK)
#define rbt_is_red(node)    (RBT_COLOR_RED == (node)->color)
#define rbt_is_black(node)   (RBT_COLOR_BLACK == (node)->color)/* 设置左孩子 */
#define rbt_set_lchild(tree, node, left) { \(node)->lchild = (left); \if (tree->sentinel != left) { \(left)->parent = (node); \} \
}/* 设置右孩子 */
#define rbt_set_rchild(tree, node, right) { \(node)->rchild = (right); \if (tree->sentinel != right) { \(right)->parent = (node); \} \
}/* 设置孩子节点 */
#define rbt_set_child(tree, node, type, child) { \if (RBT_LCHILD == type) { \rbt_set_lchild(tree, node, child); \} else { \rbt_set_rchild(tree, node, child); \} \
}

代码5 宏定义

3.2 创建对象

创建的初始红黑树对象是一棵空树,其根节点为NULL,但是此时必须为叶子结点(哨兵)分配好空间,并将叶子结点的颜色置为黑色(性质3),以方便后续对树的操作处理。

/********************************************************************************函数名称: rbt_creat**功    能: 创建红黑树对象(对外接口)**输入参数: NONE**输出参数: NONE**返    回: 红黑树对象地址**实现描述: **注意事项: **     1、每个结点要么是红色的,要么是黑色的;**     2、根结点是黑色的;**     3、所有叶子结点(NIL)都是黑色的;**     4、如果一个结点是红色,则它的两个儿子都是黑色的;**     5、对任何一个结点,从该结点通过其子孙结点到达叶子结点(NIL)**         的所有路径上包含相同数目的黑结点。**作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.24 #******************************************************************************/
rbt_tree_t *rbt_creat(void)
{rbt_tree_t *tree = NULL;tree = (rbt_tree_t *)calloc(1, sizeof(rbt_tree_t));if (NULL == tree) {return NULL;}tree->sentinel = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));if (NULL == tree->sentinel) {free(tree);return NULL;}tree->sentinel->color = RBT_COLOR_BLACK;tree->root = tree->sentinel;return tree;
}

代码6 创建对象

3.3 旋转处理

在添加和删除过程中,可能破坏红黑树的5个性质之一,和平衡二叉树的处理相似,可通过旋转来恢复红黑树的性质,但红黑树的旋转只有右旋和左旋2种。

右旋处理:

以结点N为支点,进行右旋转的处理描述:结点N的左孩子A取代N的位置,并将结点A的右孩子AR作为结点N的左孩子,再将结点N作为结点A的右孩子。

图2 右旋处理

[注:旋转过程并不关注结点颜色]

右旋处理对应的代码如下所示:

/********************************************************************************函数名称: rbt_right_rotate**功    能: 右旋处理**输入参数: **     tree: 红黑树**     node: 旋转支点**输出参数: NONE**返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败**实现描述: **        G                       G**        |                       |**        N            ->         L**      /   \                   /   \**     L     R                 LL    N**    / \   / \                     / \**   LL LR RL RR                   LR  R**                                    / \**                                   RL RR**            说明: 节点N为旋转支点**注意事项: **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #******************************************************************************/
void rbt_right_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{rbt_node_t *parent = node->parent, *lchild = node->lchild;if (tree->sentinel == parent) {tree->root = lchild;lchild->parent = tree->sentinel;} else if (node == parent->lchild) {rbt_set_lchild(tree, parent, lchild);} else {rbt_set_rchild(tree, parent, lchild);}rbt_set_lchild(tree, node, lchild->rchild);rbt_set_rchild(tree, lchild, node);
}

代码7 右旋处理

左旋处理:

以结点N为支点,进行右旋转的处理描述:结点N的左孩子B取代N的位置,并将结点B的左孩子BL作为结点N的右孩子,再将结点N作为结点B的左孩子。

图3 左旋处理

[注:旋转过程并不关注结点颜色]

左旋处理对应的代码如下:

/********************************************************************************函数名称: rbt_left_rotate**功    能: 左旋处理**输入参数: **     tree: 红黑树**     node: 旋转支点**输出参数: NONE**返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败**实现描述: **        G                       G**        |                       |**        N            ->         R**      /   \                   /   \**     L     R                 N    RR**    / \   / \               / \**   LL LR RL RR             L  RL**                          / \**                         LL LR**            说明: 节点N为旋转支点**注意事项: **作    者: # Qifeng.zou # 2014.01.15 #******************************************************************************/
void rbt_left_rotate(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{rbt_node_t *parent = node->parent, *rchild = node->rchild;if (tree->sentinel == parent) {tree->root = rchild;rchild->parent = tree->sentinel;} else if(node == parent->lchild) {rbt_set_lchild(tree, parent, rchild);} else {rbt_set_rchild(tree, parent, rchild);}rbt_set_rchild(tree, node, rchild->lchild);rbt_set_lchild(tree, rchild, node);
}

代码8 左旋处理

3.4 添加操作

1)当向一棵空树中添加结点时,则新结点将作为整棵树根结点,且为黑色(性质2);

图4 空树中添加根结点R

2)当向一棵非空树中添加一个结点时,新结点的颜色都是为红色。添加成功后,需要判断是否破坏了红黑树的5个性质。经过分析,可以发现,向非空树中添加一个结点,不可能破坏性质1、2、3、5,唯一可能被破坏只有性质4 —— 出现2个连续的红结点[新节点和父节点为红色],且性质4被破坏,只有如下六种情况:

============================================================================

前提1:父节点P为祖父节点G的左孩子

============================================================================

  情况1):叔结点U为红色

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为G的左孩子

情况描述:叔结点U为红色时 [注:此时不必关心新结点N是左孩子还是右孩子]

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 1]

①、将父结点P和叔结点U的颜色改为黑色,将祖父结点G改为红色

②、把祖父结点作为下一次判断的对象

图5 叔结点U为红色,新结点N为左孩子

图6 叔结点U为红色,新结点N为右孩子

  情况2):叔结点为黑色,新结点N为右孩子

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为G的左孩子

情况描述:叔结点U也为黑色,新结点N为右孩子时

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 2]

①、调整颜色:将父结点P改为黑色,将祖父结点改为红色

②、向右旋转90度:父结点P取代祖父结点G的位置,同时将父结点的右子树PR作为祖父结点G的左子树,祖父结点G作为父结点P的右孩子

③、把祖父结点的父结点GP改为下一次判断的对象

图7 叔结点U为黑色,新结点N为左孩子

[注意:蓝色结点表示颜色可能为红,也可能为黑]

  情况3):叔结点为黑色,新结点N为右孩子

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为G的左孩子

情况描述:叔结点U也为黑色,新结点N为右孩子时

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 3]

①、向左旋转90度:新结点N取代父结点P的位置,同时将新结点的左子树NL作为父结点P的右子树,父结点P作为新结点N的左孩子

②、把父结点P改为下一次判断的对象 [注意:经过①、②、③处理后,情况3演变了情况2]

图8 叔结点U为黑色 新结点N为右孩子

[注意:蓝色表示颜色可能为红,也可能为黑]

============================================================================

前提2:父节点P为祖父节点G的右孩子

============================================================================

  情况4):叔结点U为红色

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为祖父G的右孩子

情况描述:叔结点U为红色时 [注:此时不必关心新结点N是左孩子还是右孩子]

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 4]

①、将父结点P和叔结点U的颜色改为黑色,将祖父结点G改为红色

②、把祖父结点作为下一次判断的对象

图9 叔结点U为红色 新结点N为右孩子

图10 叔结点U为红色 新结点N为左孩子

  情况5):叔结点U为黑色,新结点N为父结点P的左孩子

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为祖父结点G的右孩子

情况描述:叔结点U为黑色,新结点N为左孩子时

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 5]

①、向右旋转90度:新结点N取代父结点G的位置,同时将新结点的右子树NR作为父结点G的左子树,父结点G作为新结点的右孩子

②、把父结点P改为下一次判断的对象[此时case 5演变为case 6]

图11 叔结点U为黑色 新结点N为左孩子

[注意:蓝色表示颜色可能为红,也可能为黑]

  情况6):叔结点U为黑色,新结点N为父结点P的右孩子

前提条件:新结点N和父结点P都为红色,父结点P为G的右孩子

情况描述:叔结点U为黑色,新结点N为右孩子时

处理过程:[代码:参考rb_insert_fixup()中的case 6]

①、颜色调整:将祖父结点G改为红色,父结点P改为黑色

②、向左旋转90度:父结点P取代祖父结点G的位置,同时将父结点的左子树PL作为祖父结点G的右子树,祖父结点G作为父结点P的左孩子

③、把祖父结点的父结点GP改为下一次判断的对象

图12 叔结点G为黑色 新结点N为右孩子

[注意:蓝色表示颜色可能为红,也可能为黑]

/********************************************************************************函数名称: rbt_creat_node**功    能: 创建关键字为key的结点(内部接口)**输入参数: **     key: 红黑树**     color: 结点颜色**     type: 新结点是父结点的左孩子还是右孩子**     parent: 父结点**输出参数: NONE**返    回: RB_SUCCESS:成功 RB_FAILED:失败**实现描述: **注意事项: 新结点的左右孩子肯定是叶子结点**作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #******************************************************************************/
rbt_node_t *rbt_creat_node(rbt_tree_t *tree, int key, int color, int type, rbt_node_t *parent)
{rbt_node_t *node = NULL;node = (rbt_node_t *)calloc(1, sizeof(rbt_node_t));if (NULL == node) {return NULL;}node->color = color;node->key = key;node->lchild = tree->sentinel;node->rchild = tree->sentinel;if (NULL != parent) {rbt_set_child(tree, parent, type, node);} else {node->parent = tree->sentinel;}return node;
}

代码9 创建key值结点

/********************************************************************************函数名称: rbt_insert**功    能: 向红黑树中增加节点(对外接口)**输入参数: **     tree: 红黑树**     key: 需被添加的关键字**输出参数: NONE**返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败 RBT_NODE_EXIST:节点存在**实现描述: **     1. 当根节点为空时,直接添加**     2. 将节点插入树中, 检查并修复新节点造成红黑树性质的破坏**注意事项: **  红黑树的5点性质:**     1、每个结点要么是红色的,要么是黑色的;**     2、根结点是黑色的;**     3、所有叶子结点(NIL)都是黑色的;**     4、如果一个结点是红色,则它的两个儿子都是黑色的;**     5、对任何一个结点,从该结点通过其子孙结点到达叶子结点(NIL)**         的所有路径上包含相同数目的黑结点。**注意事项: 插入节点操作只可能破坏性质(4)**作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #******************************************************************************/
int rbt_insert(rbt_tree_t *tree, int key)
{rbt_node_t *node = tree->root,*add = NULL, *parent = NULL;/* 1. 当根节点为空时,直接添加 */if (tree->sentinel == tree->root) {/* 性质2: 根结点是黑色的 */tree->root = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_BLACK, 0, NULL);if (tree->sentinel == tree->root) {return RBT_FAILED;}return RBT_SUCCESS;}/* 2. 将节点插入树中, 检查并修复新节点造成红黑树性质的破坏 */while (tree->sentinel != node) {if (key == node->key) {return RBT_NODE_EXIST;} else if (key < node->key) {if (tree->sentinel == node->lchild) {add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_LCHILD, node);if(NULL == add) {return RBT_FAILED;}return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止红黑树的性质被破坏 */}node = node->lchild;} else {if (tree->sentinel == node->rchild) {add = rbt_creat_node(tree, key, RBT_COLOR_RED, RBT_RCHILD, node);if (NULL == add) {return RBT_FAILED;}return rb_insert_fixup(tree, add); /* 防止红黑树的性质被破坏 */}node = node->rchild;}}return RBT_SUCCESS;
}

代码10 增加key值结点(内部接口)

/********************************************************************************函数名称: rb_insert_fixup**功    能: 插入操作修复(内部接口)**输入参数: **     tree: 红黑树**     node: 新增节点的地址**输出参数: NONE**返    回: RBT_SUCCESS:成功 RBT_FAILED:失败**实现描述: **     1. 检查红黑树性质是否被破坏**     2. 如果被破坏,则进行对应的处理**注意事项: 插入节点操作只可能破坏性质④**作    者: # Qifeng.zou # 2013.12.23 #******************************************************************************/
int rb_insert_fixup(rbt_tree_t *tree, rbt_node_t *node)
{rbt_node_t *parent = NULL, *uncle = NULL, *grandpa = NULL, *gparent = NULL;while (rbt_is_red(node)) {parent = node->parent;if (rbt_is_black(parent)) {return RBT_SUCCESS;}grandpa = parent->parent;if (parent == grandpa->lchild) { /* 父节点为左节点 */uncle = grandpa->rchild;/* case 1: 父节点和叔节点为红色 */if (rbt_is_red(uncle)) {rbt_set_black(parent);rbt_set_black(uncle);if(grandpa != tree->root) {rbt_set_red(grandpa);}node = grandpa;continue;} else if (node == parent->lchild) { /* case 2: 叔结点为黑色,结点为左孩子 *//* 右旋转: 以grandpa为支点 */gparent = grandpa->parent;rbt_set_red(grandpa);rbt_set_black(parent);rbt_right_rotate(tree, grandpa);node = gparent;continue;} else { /* case 3: 叔结点为黑色,结点为右孩子 *//* 左旋转: 以parent为支点 */rbt_left_rotate(tree, parent);node = parent;continue;}} else { /* 父节点为右孩子 */uncle = grandpa->lchild;/* case 1: 父节点和叔节点为红色 */if (rbt_is_red(uncle)) {rbt_set_black(parent);rbt_set_black(uncle);if (grandpa != tree->root) {rbt_set_red(grandpa);}node = grandpa;continue;} else if (node == parent->lchild) { /* case 2: 叔结点为黑色,结点为左孩子 *//* 右旋转: 以parent为支点 */rbt_right_rotate(tree, parent);node = parent;continue;} else { /* case 3: 叔结点为黑色,结点为右孩子 *//* 左旋转: 以grandpa为支点 */gparent = grandpa->parent;rbt_set_black(parent);rbt_set_red(grandpa);rbt_left_rotate(tree, grandpa);node = gparent;continue;}}}return RBT_SUCCESS;
}

代码11 红黑树修复

3.4 结果展示

调用函数rb_insert,随机添加20个不同的关键字,其最终生成的红黑树如下图所示: [注意:红黑树的打印可以参考《算法导论 之 红黑树 - 打印》]

图13 打印构建

图11对应的红黑树结构如下图所示:

图14 树型结构

[注:未绘制叶子结点]

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