参考博客：https://blog.csdn.net/zhouzi2018/article/details/81278942

哈密顿图

哈密顿图（哈密尔顿图）（英语：Hamiltonian graph，或Traceable graph）是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次。在图论中是指含有哈密顿回路的图，闭合的哈密顿路径称作哈密顿回路（Hamiltonian cycle），含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径（Hamiltonian path）。有哈密顿路径但没有哈密顿回路的图叫做半哈密顿图。

求哈密顿回路/路径已经被证明为NP-C问题，只能通过暴力枚举求。但有些定理还是应该知道的。

判定:

一:Dirac定理(充分条件)

设一个无向图中有N个顶点,若所有顶点的度数大于等于 $\left \lceil \frac{N}{2} \right \rceil$ ,则哈密顿回路一定存在.

二:基本的必要条件

设图G=<V, E>是哈密顿图,则对于v的任意一个非空子集S,若以|S|表示S中元素的数目,G-S表示G中删除了S中的点以及这些点所关联的边后得到的子图,则W(G-S)<=|S|成立.其中W(G-S)是G-S中联通分支数.

三:竞赛图(哈密顿通路)

N阶竞赛图:含有N个顶点的有向图,且每对顶点之间都有一条边.对于N阶竞赛图一定存在哈密顿通路.

N(N>=2)阶竞赛图一点存在哈密顿通路.

其它定理：

（1）若图的最小度不小于顶点数的一半，则图是哈密顿图；

（2）若图中每一对不相邻的顶点的度数之和不小于顶点数，则图是哈密顿图。

（3）范定理：若图中每对距离为2的点中有一点的度数至少是图的点数的一半，则该图存在哈密尔顿圈。

例1、HDU - 2181 哈密顿绕行世界问题（求哈密顿回路）

题意：按字典序输出指定起点的哈密顿回路。

思路：爆搜。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#define LL long long
using namespace std;
int book[25],path[25],cnt;
int map[25][4];
void dfs(int ex,int x,int step)
{path[step]=x;if(step==21){if(x==ex){printf("%d: ",++cnt);for(int i=1;i<=21;i++)printf(" %d",path[i]);printf("\n");         }return ;}for(int i=0;i<3;i++){if(step==20&&map[x][i]==ex)dfs(ex,map[x][i],step+1);if(!book[map[x][i]]){book[map[x][i]]=1;dfs(ex,map[x][i],step+1);book[map[x][i]]=0;}    }}
int main()
{for(int i=1;i<=20;i++){for(int j=0;j<3;j++)scanf("%d",&map[i][j]);sort(map[i],map[i]+3);       }int m;while(~scanf("%d",&m)){if(m==0) break;cnt=0;memset(book,0,sizeof(book));book[m]=1;dfs(m,m,1);} return 0;
}

例2、HDU - 3538 A sample Hamilton path （求哈密顿路径）

题意：求从0开始的最短哈密顿路径，有m个限制条件,限制条件为a、b,表示走b之前必须先走a。

思路：爆搜肯定不行了，不过最多21个点，考虑状压dp。

dp[st][u]：表示之前走过st这个状态代表的所有点后，以u为终点时的最短路。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = (1<<21)+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int mp[110][110],dp[N][110],f[110];
int n,m,u,v,ans,nn;
//dp[st][u]：表示之前走过st这个状态代表的所有点后，以u为终点时的最短路
int main(void)
{while(~scanf("%d%d",&n,&m))  {nn=(1<<n);for(int st=0;st<nn;st++)for(int i=0;i<n;i++)dp[st][i]=inf;   for(u=0;u<n;u++){f[u]=0;for(v=0;v<n;v++)   scanf("%d",&mp[u][v]);} for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&u,&v),f[v]|=(1<<u);        dp[1][0]=0;for(int st=0;st<nn;st++)for(u=0;u<n;u++){if(dp[st][u]==inf) continue; for(v=0;v<n;v++){//u这个点必须已经走过，v这个点必须没有走过,走v之前必须走的点必须都走过，u能到达v if(!(st&(1<<u))||(st&(1<<v))||((st&f[v])!=f[v])||mp[u][v]==-1) continue;dp[st|(1<<v)][v]=min(dp[st|(1<<v)][v],dp[st][u]+mp[u][v]);           }   }ans=inf;for(u=0;u<n;u++)ans=min(dp[nn-1][u],ans);  if(ans==inf) puts("-1");elseprintf("%d\n",ans);}return 0;
}

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