天平秤重问题(三进制)
[问题描述]:
有一只天平和N只砝码,如何设计这N只砝码,才能使这天平能够连续秤出的重量最大?假设砝码的最小单位为1克,秤物时物品放在天平的左边,砝码可以放在右边也可以放在左边,不管放在哪一边只要天平能够平衡就行,物品的重量应是右边砝码总重量减去左边砝码的重量。
输入一个物品的重量,输出其秤重方案。
[分析与算法选择]:
这个问题是从一个经典的数学问题变化而来,这个数学问题的大意是:一个物体重40磅,掉在地上后摔成四片,这四片恰好能够作为砝码连续秤出40磅以内的物品的重量,这四片的重量如何?
(1)如何设计砝码?
我们先不去看单位,直接用数字来描述。因为要能连续秤出一范围内的值,所以首先要有1,从数学上可以知道,N只砝码本身最大能秤的总重就是这N只砝码的重量和,下面就看如何保证连续的数都能秤出了。设这N只砝码的重量分别为W1、W2……Wn,且有W1<=W2<=……<=Wn, W1=1,下面看W2如何设计。
如果W2=1,1、2都能秤出;如果W2=2,1、2、3都能秤出;如果W2=3,1可以秤出(W1)、2可以秤出(W2-W1)、3可以秤出(W2)、4也可以秤出(W1+W2);如果W2=4,则2不能秤出;所以W2最大为3(=3*W1)。
同理可推出W3最大为9(=3*W2);
……
Wn最大为3n-1(=3*Wn-1)。
设计方案为这N只砝码重分别为:1、3、9、27、……、3^n-1。
(2)如何根据物品重量得到秤重方案?
物品(+砝码) 砝码
因为物品固定放在一连(如左边),只要考虑砝码放的情况。任一个砝码都可能有三种状态:一是跟被秤物品放在一起(如左边),二是不放,三是放在物品另一边(如右边)。最后物品的重量等于所有砝码乘上相应系数的和。这个系数可能是:-1、0、1。
先来看3只砝码时各种重量的称法,如下表所示,其中-1表示砝码放在物品一边、0表示砝码不放进天平、1表示砝码放在物品另一边,如果每一位加1后便只会是0、1、2这3个数字中的一个,所以可以方便地跟三进制数对应起来:
物品重量 |
3只砝码 |
每一位加1 |
|||
9 |
3 |
1 |
三进制数 |
十进制数 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
112 |
14(=1+13) |
2 |
0 |
1 |
-1 |
120 |
15(=2+13) |
3 |
0 |
1 |
0 |
121 |
16(=3+13) |
4 |
0 |
1 |
1 |
122 |
17(=4+13) |
5 |
1 |
-1 |
-1 |
200 |
18(=5+13) |
6 |
1 |
-1 |
0 |
201 |
19(=6+13) |
7 |
1 |
-1 |
1 |
202 |
20(=7+13) |
8 |
1 |
0 |
-1 |
210 |
21(=8+13) |
9 |
1 |
0 |
0 |
211 |
22(=9+13) |
10 |
1 |
0 |
1 |
212 |
23(=10+13) |
11 |
1 |
1 |
-1 |
220 |
24(=11+13) |
12 |
1 |
1 |
0 |
221 |
25(=12+13) |
13 |
1 |
1 |
1 |
222 |
26(=13+13) |
由上表我们可以总结出这样的计算方法:对于给定的物品重量,先确定它最多用到多大的砝码,假定是3n-1,那么先将这个物品的重量加上1、3、……3n-1,得到一个数,再对这个数进行除3取余运算,当余数为0时表示相应的砝码跟物品放在一起,余数为1时表示相应的砝码不放,为2时表示放在物品的另一边。
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