电磁场第二章公式总结

1.电荷计算公式

根据电荷密度的定义，如果已知某空间区域V中的电荷体密度，则区域V中的总电量q为
q=∫Vρ(r⃗)dVq=\int_{V}\rho(\vec{r})dVq=∫Vρ(r)dV
如果已知某空间曲面S上的电荷面密度，则该曲面上的总电量q 为
q=∫SρS(r⃗)dSq=\int_{S}\rho_S(\vec{r})dSq=∫SρS(r)dS
如果已知某空间曲线上的电荷线密度，则该曲线上的总电量q 为
q=∫Cρl(r⃗)dlq=\int_{C}\rho_l(\vec{r})dlq=∫Cρl(r)dl

2.电流公式

i=lim⁡Δt→0ΔqΔt=dqdti=\lim\limits_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{dq}{dt}i=Δt→0limΔtΔq=dtdq
电流密度矢量J⃗\vec{J}J
J⃗=e⃗nlim⁡ΔS→0ΔiΔS=e⃗ndidS\vec{J}=\vec{e}_n\lim\limits_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta S}=\vec{e}_n\frac{di}{dS}J=enΔS→0limΔSΔi=endSdi
流过任意曲面S 的电流为
i=∫SJ⃗⋅dS⃗i=\int_S \vec{J}\cdot d\vec{S}i=∫SJ⋅dS
面电流密度矢量J⃗S\vec{J}_SJS
J⃗S=e⃗tlim⁡Δl→0ΔiΔl=e⃗tdidl\vec{J}_S=\vec{e}_t\lim\limits_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta i}{\Delta l}=\vec{e}_t\frac{di}{dl}JS=etΔl→0limΔlΔi=etdldi
通过薄导体层上任意有向曲线l⃗\vec{l}l的电流为
i=∫lJ⃗S⋅(e⃗n×dl⃗)i=\int_l \vec{J}_S\cdot (\vec{e}_n\times d\vec{l})i=∫lJS⋅(en×dl)

3.电荷守恒定律

电流连续性方程
积分形式:∮SJ⃗⋅dS=−dqdt=−ddt∫VρdV\oint_S \vec{J}\cdot dS=-\frac{dq}{dt}=-\frac{d}{dt}\int_V\rho dV∮SJ⋅dS=−dtdq=−dtd∫VρdV
(流出闭合面S的电流等于体积V内单位时间所减少的电荷量)
微分形式:∇⋅J⃗=−∂ρ∂t\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}∇⋅J=−∂t∂ρ

4.库仑（Coulomb）定律

真空中静止点电荷 q1 对 q2 的作用力:
F⃗12=e⃗Rq1q24πε0R122=q1q2R⃗124πε0R123\vec{F}_{12}=\vec{e}_R\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0R^2_{12}}=\frac{q_1q_2\vec{R}_{12}}{4\pi\varepsilon_0R^3_{12}}F12=eR4πε0R122q1q2=4πε0R123q1q2R12

电场强度

定义式
E⃗(r⃗)=lim⁡q0→0F⃗(r⃗)q0\vec{E}(\vec{r})=\lim\limits_{q_0\rightarrow 0}\frac{\vec{F}(\vec{r})}{q_0}E(r)=q0→0limq0F(r)

静电场的散度和旋度

静电场的散度（微分形式）：
∇⋅E⃗(r⃗)=ρ(r⃗)ε0\nabla\cdot \vec{E}(\vec{r})=\frac{\rho(\vec{r})}{\varepsilon_0}∇⋅E(r)=ε0ρ(r)(推导见书P43)
静电场的高斯定理(积分形式)：
∮SE⃗(r⃗)⋅dS⃗=1ε0∫Vρ(r⃗)dV\oint_S \vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(\vec{r})dV∮SE(r)⋅dS=ε01∫Vρ(r)dV

高斯定理表明：静电场是有源场，电场线起始于正电荷，终止于负电荷。

静电场的旋度（微分形式）：
∇×E⃗(r⃗)=0\nabla\times \vec{E}(\vec{r})=0∇×E(r)=0
静电场的环路定理(积分形式)：
∫cE⃗(r⃗)⋅dl⃗=0\int_{c}\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=0∫cE(r)⋅dl=0
环路定理表明:静电场是无旋场，是保守场，电场力做功和路径无关

5.安培力定律

真空中的载流回路C1对载流回路C2的作用力
F⃗12=μ04π∫C2∫C1I2dl⃗2×(I1dl⃗1×R⃗12)R123\vec{F}_{12}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_2}\int_{C_1}\frac{I_2d\vec{l}_2\times(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}F12=4πμ0∫C2∫C1R123I2dl2×(I1dl1×R12)

磁感应强度

根据安培力定律，有
F⃗12=∫C2I2dl⃗2×μ04π∫C1(I1dl⃗1×R⃗12)R123=∫C2I2dl⃗2×B⃗1(r⃗2)\vec{F}_{12}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}=\int_{C_2}I_2d\vec{l}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2)F12=∫C2I2dl2×4πμ0∫C1R123(I1dl1×R12)=∫C2I2dl2×B1(r2)
其中B⃗1(r⃗2)=μ04π∫C1(I1dl⃗1×R⃗12)R123\vec{B}_1(\vec{r}_2)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{C_1}\frac{(I_1d\vec{l}_1\times\vec{R}_{12})}{{R}_{12}^3}B1(r2)=4πμ0∫C1R123(I1dl1×R12)
电流I1I_1I1在电流元I2dl⃗2I_2d\vec{l}_2I2dl2处产生的磁感应强度

磁场的散度和旋度

恒定场的散度(微分形式)：
∇⋅B⃗(r⃗)=0\nabla\cdot\vec{B}(\vec{r})=0∇⋅B(r)=0在这里插入代码片
磁通连续性原理(积分形式):
∫SB⃗(r⃗)⋅dS⃗=0\int_S\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=0∫SB(r)⋅dS=0

磁通连续性原理表明：恒定磁场是无源场，磁场线是无起点和终点的闭合曲线

恒定磁场的旋度(微分形式):
∇×B⃗(r⃗)=μ0J⃗(r⃗)\nabla\times\vec{B}(\vec{r})=\mu_0\vec{J}(\vec{r})∇×B(r)=μ0J(r)
安培环路定理(积分形式):
∮CB⃗(r⃗)⋅dl⃗=μ0∫SJ⃗(r⃗)⋅dS⃗=μ0I\oint_{C}\vec{B}(\vec{r})\cdot d\vec{l}=\mu_0\int_{S}\vec{J}(\vec{r})\cdot d\vec{S}=\mu_0I∮CB(r)⋅dl=μ0∫SJ(r)⋅dS=μ0I
安培环路定理表明:恒定磁场是有旋场，是非保守场，电流是磁场的漩涡源