图像降噪算法——图像噪声模型

1. 图像噪声建模

首先，我们要区分图像传感器噪声和图像噪声，图像传感器噪声我在博客图像传感器与信号处理——详解图像传感器噪声中有过总结，图像传感器噪声会造成各种各样的图像噪声。

其次，我们需要了解图像降噪模型，图像降噪模型可以建模为：y=x+ny=x+ny=x+n其中，yyy是观察到的噪声图像，xxx是图像真值，nnn是图像噪声，图像降噪过程就是通过yyy获取xxx，在许多论文中将这个过程描述为不可逆过程，这也就是为什么图像降噪难。本博客就是对图像噪声nnn进行建模：

《数字图像处理》一书中对噪声建模主要有一下几种类型：

（1）高斯噪声
高斯噪声是最常见也是最重要的的一种噪声，众多的图像降噪算法都是以降低高斯噪声为目标设计的，其概率密度函数如下所示：p(z)=12πσ2e−(z−μ)2/2σ2p(z)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^{2}}} e^{-(z-\mu)^{2}} /_{2 \sigma^{2}}p(z)=2πσ21e−(z−μ)2/2σ2其中，σ\sigmaσ是标准偏差，μ\muμ是灰度值的平均值，这个公式说明的是灰度值为zzz的概率为多少。

（2）瑞利噪声
瑞丽噪声的概率密度函数如下所示：p(z)={2b(z−a)e−(z−a)2/b,z⩾a0,z<ap(z)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2}{b}(z-a) \mathrm{e}^{-(z-a)^{2} / b}, & z \geqslant a \\ 0, & z<a \end{array}\right.p(z)={b2(z−a)e−(z−a)2/b,0,z⩾az<a概率密度的均值和方法分别为：zˉ=a+πb/4\bar{z}=a+\sqrt{\pi b / 4}zˉ=a+πb/4σ2=b(4−π)4\sigma^{2}=\frac{b(4-\pi)}{4}σ2=4b(4−π)瑞利噪声对于图像直方图近似倾斜的图像中的噪声建模较为有效。

（3）伽马噪声
伽马噪声的概率密度函数如下所示：p(z)={abzb−1(b−1)!e−az,z⩾a0,z<ap(z)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{a^{b} z^{b-1}}{(b-1) !} \mathrm{e}^{-a z}, & z \geqslant a \\ 0, & z<a \end{array}\right.p(z)={(b−1)!abzb−1e−az,0,z⩾az<a其中均值和方差分别为zˉ=ba\bar{z}=\frac{b}{a}zˉ=abσ2=ba2\sigma^{2}=\frac{b}{a^{2}}σ2=a2b伽马噪声相对瑞利噪声分布会更加倾斜

（4）指数噪声
指数噪声的概率密度函数如下所示：p(z)={ae−az,z⩾00,z<0p(z)=\left\{\begin{array}{ll} a \mathrm{e}^{-a z}, & z \geqslant 0 \\ 0, & z<0 \end{array}\right.p(z)={ae−az,0,z⩾0z<0其概率密度函数的均值和方差分别为zˉ=1a\bar{z}=\frac{1}{a}zˉ=a1σ2=1a2\sigma^{2}=\frac{1}{a^{2}}σ2=a21指数噪声分布相对伽马噪声又会进一步倾斜

（5）量化噪声
量化噪声又称均匀噪声，此类噪声是由于将模拟数据转换为数字数据而引起的，因此是幅度量化过程中固有的，其概率密度函数如下：p(z)={1b−a,a⩽z⩽b0otherwisep(z)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant z \leqslant b \\ 0 & otherwise \end{array}\right.p(z)={b−a1,0a⩽z⩽botherwise
（6）椒盐噪声
椒盐噪声又称脉冲噪声、尖峰噪声，在图像上表现为随机分布的黑白点，其概率密度函数如下图所示：
p(z)={Pa,z=aPb,z=b1−Pa−Pb,otherwisep(z)=\left\{\begin{array}{ll} P_{a}, & z=a \\ P_{b}, & z=b \\ 1-P_{a}-P_{b}, & otherwise \end{array}\right.p(z)=⎩⎨⎧Pa,Pb,1−Pa−Pb,z=az=botherwise椒盐噪声可以通过中值滤波器进行消除。

以上即《数字图像处理》中对各个图像噪声的建模，对于的概率密度函数的不同，书中给出了这样一张图予以区分：
那么除了《数字图像处理》中提到的几种图像噪声模型外，一般还有如下几种模型：

（7）泊松噪声
泊松噪声又称散粒噪声，我们知道，光源每秒发射的光子到达CMOS的越多，则该像素的灰度值越大。但是因为光源发射和CMOS接收之间都有可能存在一些因素导致某个光子并没有被CMOS接收到或者某个像素一时间段内发射的光子特别多，所以这就导致了灰度值的波动，也就产生了泊松噪声，方程描述为：p[(N(t+τ)−N(t))=k]=e−λτ(λτ)kk!k=0,1,…p[(N(t+\tau)-N(t))=k]=\frac{e^{-\lambda \tau}(\lambda \tau)^{k}}{k !} \quad k=0,1, \dotsp[(N(t+τ)−N(t))=k]=k!e−λτ(λτ)kk=0,1,…这个公式说明的是某个像素在间隔时间τ\tauτ内接收到kkk个光子的概率为多少。

（8）斑点噪声
在相干成像系统（如雷达，激光和声学等）中可以看到斑点噪声的出现，其概率密度函数如下：p(z)=za−1e−z/aa−1!aap(z)=\frac{z^{a-1} e^{-z / a}}{a-1 ! a^{a}}p(z)=a−1!aaza−1e−z/a斑点噪声在光学成像系统中很少出现，因此这里不作赘述。

（6）周期性噪声
周期性噪声无法用概率密度函数进行描述，也无法在空间域中进行消除，通常的方法是通过频域中的带阻滤波器进行消除，如下图所示，从左至右，第一幅图原始图像，第二幅图为频域图像，第三幅图为带阻滤波器，第四幅图为滤波后的图像。

2. C++代码实现

下面分别是生成椒盐噪声和高斯噪声的函数：

at Noise::CreateSaltNoise(const Mat &src, int n)
{Mat dst = src.clone();for(int k = 0; k<n; k++){int i = rand() % dst.rows;int j = rand() % dst.cols;if(dst.channels() == 1){dst.at<uchar>(i,j) = 255;}else{dst.at<Vec3b>(i,j)[0] = 255;dst.at<Vec3b>(i,j)[1] = 255;dst.at<Vec3b>(i,j)[2] = 255;}}for(int k = 0; k<n; k++){int i = rand() % dst.rows;int j = rand() % dst.cols;if(dst.channels() == 1){dst.at<uchar>(i,j) = 0;}else{dst.at<Vec3b>(i,j)[0] = 0;dst.at<Vec3b>(i,j)[1] = 0;dst.at<Vec3b>(i,j)[2] = 0;}}return dst;
}Mat Noise::CreateGaussianNoise(const Mat &src, double mu, double sigma)
{Mat dst = src.clone();int row = dst.rows;int col = dst.cols;for(int i = 0; i<row; i++){for(int j = 0; j<col; j++){if(dst.channels() == 1){//构建高斯噪声double u1, u2;do{u1 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);u2 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);} while (u1 <= numeric_limits<double>::min());//u1不能为0double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2 * CV_PI * u2) + mu;//double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * sin(2 * CV_PI * u2) + mu;int val = dst.at<uchar>(i,j) + z * 32;val = (val<0)?0:val;val = (val>255)?255:val;dst.at<uchar>(i,j) = (uchar)val;}else{for(int k = 0; k<dst.channels(); k++){//构建高斯噪声double u1, u2;do{u1 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);u2 = rand() * (1.0 / RAND_MAX);} while (u1 <= numeric_limits<double>::min());//u1不能为0double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * cos(2 * CV_PI * u2) + mu;//double z = sigma * sqrt(-2.0 * log(u1)) * sin(2 * CV_PI * u2) + mu;int val = dst.at<Vec3b>(i,j)[k] + z * 32;int test = dst.at<Vec3b>(i,j)[k];val = (val<0)?0:val;val = (val>255)?255:val;dst.at<Vec3b>(i,j)[k] = (uchar)val;}}}}return dst;
}

下面是运行结果：
首先，下面是原图：

加上高斯噪声后的结果

加上椒盐噪声后的结果：

3. 结论

高斯噪声、瑞丽噪声、伽马噪声、指数噪声其实是比较类似的，只是统计分布会稍有区别，如果用代码实现应该是类似的。
研究图像噪声模型对于图像降噪算法的实现是非常重要的，比如我看Review的时候就有大佬提到，对于目前效果最好的深度学习降噪算法，其难于实际应用的一个方面就是训练模型所用的噪声都是高斯噪声，而我们摄像头拍摄图像的实际噪声要远比高斯噪声复杂，因此如果更好地对图像噪声进行建模非常重要。

那这一小节就总结到这儿啦，有问题欢迎交流～

此外，这里我写一个各种算法的总结目录图像降噪算法——图像降噪算法总结，对图像降噪算法感兴趣的同学欢迎参考