说在前面

相信大家都已经知道这个中外著名的费波纳切数列了吧，关于费波那契数列有很多有趣的性质，但我们这里不讲，在这里我们只是利用斐波那契数列来引出另一个神奇的东西，矩阵乘法，递推在这里是起一个对比与铺垫的作用，（没有对比就不知道矩阵乘法有多快）。

斐波那契数列

定义一个数列

F(n)=⎧⎩⎨0,1，Fn−1+Fn−2,n=0 n=1n≥2

F(n) = \begin{cases} 0, & \text{$n$=0 } \\ 1，& \text{$n$=1} \\ F_{n-1}+F_{n-2}, & \text{$n \ge 2$} \end{cases}

递推

递推（我当大家都会了），但是这样的做法时间复杂度是 O(n) O(n)，的，当n很大时，这个算法就会T。

通项公式

斐波那契数列有一个通项公式，

F(n)=15√×⎡⎣(1+5√2)n−(1−5√2))n⎤⎦

F(n)=\frac{1}{\sqrt5}\times \left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt5}{2})\right)^n \right],直接用快速幂计算两个log，但是如果要取模怎么办？求一个非整数的逆元？通项公式似乎很难。

进入正题——矩阵乘法

知识预备：
①设

A=[1−10321]

A=\begin{bmatrix}1 & 0& 2 \\-1 & 3 & 1 \\\end{bmatrix}

B=⎡⎣⎢321110⎤⎦⎥

B=\begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}

AB=[(1×3+0×2+2×1)(−1×3+3×2+1×1)(1×1+0×1+2×0)(−1×1+3×1+1×0)]=[5412]

AB=\begin{bmatrix}(1\times3+0\times2+2\times1) & (1\times1+0\times1+2\times0) \\(-1\times3+3\times2+1\times1) & (-1\times1+3\times1+1\times0) \\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & 1 \\4 & 2 \\\end{bmatrix}
②设

A=[abcd]

A=\begin{bmatrix}a & c \\b & d \\\end{bmatrix}

B=[ef]

B=\begin{bmatrix}e \\f \\\end{bmatrix}

AB=[ae+cfbe+df]

AB=\begin{bmatrix}ae+cf \\be+df \\\end{bmatrix}
有了这些东西，接下来就可以做斐波那契了，把相邻两项写在一个2*1的矩阵中，

[FnFn−1]=[Fn−1+Fn−2Fn−1]=[Fn−1×1+Fn−2×1Fn−1×1+Fn−2×0]=[1110]×[Fn−1Fn−2]=[1110]n−1×[F1F0]=[1110]n−1×[10]

\begin{align}\begin{bmatrix}F_n \\F_{n-1} \\\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}F_{n-1}+F_{n-2} \\F_{n-1} \\\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}F_{n-1} \times1+F_{n-2}\times1 \\F_{n-1}\times1+F_{n-2}\times0 \\\end{bmatrix}\\&= \begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 0 \\\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}F_{n-1} \\F_{n-2}\\\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix}F_1\\F_0\\\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}^{n-1}\times\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}\end{align}
那么问题的本质，就是如何解决计算这一块

[1110]n−1

\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & 0\\\end{bmatrix}^{n-1}
算完之后，取矩阵第一行第一列的元素，计算这个其实又是快速幂，说些什么呢？谢谢蒙格马利吧。

代码

快速幂：

function f(a,b:extended;n:int64):int64;
vart,y:extended;
begint:=1;y:=a;while b<>0 dobeginif(b and 1)=1 thent:=t*y mod n  ;y:=y*y mod n;b:=b shr 1;end;exit(t);
end;

用快速幂求出斐波那契的第n项。

typematrix=array[0..1,0..1] of int64;
constmo=trunc(1e+8+7);
vara,ans:array[0..1] of int64;b,c,d:matrix;i,j,k:longint;n:int64;
procedure work(var a,b,c:matrix);//两个2*2的矩阵相乘
vari,j,k:longint;
beginfor i:=0 to 1 dobeginfor j:=0 to 1 dobeginfor k:=0 to 1 dobeginc[i,j]:=(c[i,j]+a[i,k]*b[k,j] mod mo) mod mo;end;end;end;
end;
procedure fastpower(x:int64);
beginc[0,0]:=1;c[0,1]:=1;c[1,0]:=1;c[1,1]:=0;b[0,0]:=1;//开始将B赋值为单位矩阵，相当于实数中1在乘法中的作用b[1,1]:=1;while x<>0 dobeginif (x and 1)=1 thenbeginfillchar(d,sizeof(d),0);work(b,c,d);b:=d;end;fillchar(d,sizeof(d),0);work(c,c,d);c:=d;x:=x div 2;end;
end;
beginreadln(n);if n=0 thenwriteln(0);if (n=1)or(n=2) thenwriteln(1);fastpower(n-1);a[0]:=1;a[1]:=0;for i:=0 to 1 dobeginfor j:=0 to 1 dobeginans[i]:=(ans[i]+a[j]*b[j][i] mod mo) mod mo;end;end;writeln(ans[0] mod mo);
end.

可以发现其实两者实质上是一样的，只是在计算的时候，一个用矩阵计算，另一个直接用一个变量计算，（矩阵其实也就是一堆变量）。

the end

由于我的水平有限，难免有些会写错的，希望大家多多包容，批评指正，谢谢。

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