奶牛家族（斐波那契数列的快速幂乘矩阵算法）

TX面试题:
已知有一头牛4年后开始生小牛,一次只能生一只,问20年后一共有多少头牛？

这种问题就是简单的递归:
这头奶牛在第四年后能不断生子直到第二十年,其子出生4年后又能不断生子……

代码如下:

#include <iostream>
using namespace std;int func(int n)//计算当前这头牛在n年中能创造多少后代（包括后代的后代）
{int sum = 0;if (n <= 3)return sum;for (int i = 4; i <= n; i++){sum++; //当前这头牛在第i年生的小牛sum += func(n - i + 1);//当前这头第i年出生的小牛接下来要产生的后代}return sum;
}int main()
{int s;s = func(20);cout << s + 1 << endl;system("pause");return 0;
}

法2：
其实递推公式就是斐波那契数列f(n)=f(n-1)+f(n-3);

int f(int n)
{if (n == 1)return 1;if (n == 2)return 1;if (n == 3)return 1;if (n == 4)return 2;return f(n - 1) + f(n - 3);
}int main()
{cout << f(20)<< endl;system("pause");return 0;
}

法3:
利用快速幂乘矩阵算法求解斐波那契数列。

当n很大时，用递归求解斐波那契数列效率是非常低的，所以要用快速幂乘矩阵算法求解斐波那契数列。将O(n)的时间复杂度，降到O(logn)。

class Cows {public:void Multiply(long a[3][3], long b[3][3])//矩阵相乘a=a*b{long temp[3][3] = { 0 };for (int i = 0; i < 3; i++){for (int j = 0; j < 3; j++){for (int k = 0; k < 3; k++){temp[i][j] += a[i][k] * b[k][j] % 1000000007;temp[i][j] %= 1000000007;}}}for (int i = 0; i < 3; i++){for (int j = 0; j < 3; j++)a[i][j] = temp[i][j];}}//第1年：1//第2年：2//第3年：3//第4年：4//第5年：6//f(n)=f(n-1)+f(n-3)int countSum(int n) {if (n <= 4)return n;long res[3][3] = { 1,0,0,0,1,0,0,0,1 };//单位阵long base[3][3] = { 1,0,1,1,0,0,0,1,0 };//要求base矩阵的n-3次方int num = n - 3;while (num){if (num % 2){Multiply(res, base);}Multiply(base, base); //(base^2) ^ (n/2) ...(base^4) ^ (n/4)...(base^n) ^ (1)num /= 2;}return (res[0][0] * 3 + res[0][1] * 2 + res[0][2] * 1) % 1000000007;}
};

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