【高等数学】伽马函数与斯特林公式

伽马函数的背景

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16…可以用通项公式n²自然的表达，即便 n 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x²通过所有的整数点(n,n²),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,…,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利，由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块，他也因此得知了这个问题。欧拉于1729 年解决了这个问题，由此导致了伽玛函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

伽马函数的推导过程

对 1 1 − x 进行离散展开：对\frac{1}{1-x}进行离散展开：对1−x1进行离散展开：
1 1 − x = Σ k = 0 ∞ x k \frac{1}{1-x}=\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k 1−x1=Σk=0∞xk
再对他进行连续展开：再对他进行连续展开：再对他进行连续展开：
1 1 − x = ∫ 0 + ∞ e − ( 1 − x ) t d t = ∫ 0 + ∞ e − t ⋅ e x t d t = ∫ 0 + ∞ e − t ⋅ Σ k = 0 ∞ ( x t ) k k ! d t = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 + ∞ e − t t k d t k ! x k \frac{1}{1-x}=\int^{+\infty}_0e^{-(1-x)t}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot e^{xt}dt\\=\int^{+\infty}_0e^{-t}\cdot \Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{(xt)^k}{k!}dt =\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k 1−x1=∫0+∞e−(1−x)tdt=∫0+∞e−t⋅extdt=∫0+∞e−t⋅Σk=0∞k!(xt)kdt=Σk=0∞k!∫0+∞e−ttkdtxk

由此可知： Σ k = 0 ∞ x k = Σ k = 0 ∞ ∫ 0 + ∞ e − t t k d t k ! x k 即 k ! = ∫ 0 + ∞ e − t t k d t 由此可知：\Sigma^{\infty}_{k=0}x^k=\Sigma^{\infty}_{k=0}\frac{\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt}{k!}x^k\\ 即k!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^kdt 由此可知：Σk=0∞xk=Σk=0∞k!∫0+∞e−ttkdtxk即k!=∫0+∞e−ttkdt

我们设伽马函数 Γ ( x + 1 ) = x ! = ∫ 0 + ∞ e − t t x d t 我们设伽马函数\Gamma(x+1)=x!=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^xdt 我们设伽马函数Γ(x+1)=x!=∫0+∞e−ttxdt
Γ ( x ) = ∫ 0 + ∞ e − t t x − 1 d t \Gamma(x)=\int^{+\infty}_0e^{-t}t^{x-1}dt Γ(x)=∫0+∞e−ttx−1dt

伽马函数与斯特林公式

lim ⁡ x → ∞ Γ ( x ) = 2 π e − x x x − 1 2 \lim_{x\rightarrow\infty} \Gamma(x)=\sqrt{2\pi}e^{-x}x^{x-\frac{1}{2}} x→∞limΓ(x)=2π e−xxx−21
lim ⁡ x → ∞ x ! = 2 π x ( x e ) x \lim_{x\rightarrow\infty}x!=\sqrt{2\pi x}(\frac{x}{e})^x x→∞limx!=2πx (ex)x