[CF1603D] Artistic Partition

题解

问题其实就是要你把 1 ∼ n 1\sim n 1∼n 分成 k k k 段，最小化每一段的 c c c 值的和。

首先我们会想到，如果区间 [ l , r ] [l,r] [l,r] 中不存在两个有倍数关系的数，即 r < 2 l r<2l r<2l，那么 c ( l , r ) c(l,r) c(l,r) 就会取最小值 r − l + 1 r-l+1 r−l+1。

也就是说，如果我们按 [ 1 , 1 ] , [ 2 , 3 ] , [ 4 , 7 ] , [ 8 , 15 ] . . . [1,1],[2,3],[4,7],[8,15]... [1,1],[2,3],[4,7],[8,15]... 这样的方式去分段，那么只需分 log ⁡ n \log n logn 段即可把答案取到最小值 n n n，而且答案关于段数单调不增。

所以我们只需要考虑 k < log ⁡ n k<\log n k<logn 时的答案，这就已经大大减少了状态数，我们可以预处理出所有答案然后 O ( 1 ) O(1) O(1) 查询。

考虑设DP状态 d p [ i ] [ j ] dp[i][j] dp[i][j] 表示把 1 ∼ i 1\sim i 1∼i 分成 j j j 段时的最小答案，转移需要枚举分的最后一段是多少，复杂度不可通过。

考虑加速这个过程，观察式子：
c ( l , r ) = ∑ j = l r ∑ d ≥ l , d ∣ j ∑ i = 1 j d [ gcd ⁡ ( i , j d ) = 1 ] = ∑ j = l r ∑ d ≥ l , d ∣ j φ ( j d ) c(l,r)=\sum_{j=l}^r\sum_{d\ge l,d|j}\sum_{i=1}^{\frac{j}{d}}[\gcd(i,\frac{j}{d})=1]=\sum_{j=l}^r\sum_{d\ge l,d|j}\varphi(\frac{j}{d}) c(l,r)=j=l∑rd≥l,d∣j∑i=1∑dj[gcd(i,dj)=1]=j=l∑rd≥l,d∣j∑φ(dj)
我们可以想到用线段树维护最小的DP值，每次枚举 i i i 的因子然后用预处理出的欧拉函数做一个前缀加操作，查询就直接查前缀最小值即可。

这个做法的复杂度是 O ( n log ⁡ 3 n ) O(n\log^3n) O(nlog3n) 的，比正解多一个 l o g log log，但是zkw线段树随便过。

代码

#include<bits/stdc++.h>//JZM yyds!!
#define ll long long
#define uns unsigned
#define IF (it->first)
#define IS (it->second)
#define END putchar('\n')
using namespace std;
const int MAXN=100002;
const ll INF=1e18;
inline ll read(){ll x=0;bool f=1;char s=getchar();while((s<'0'||s>'9')&&s>0){if(s=='-')f^=1;s=getchar();}while(s>='0'&&s<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(s^48),s=getchar();return f?x:-x;
}
int ptf[50],lpt;
inline void print(ll x,char c='\n'){if(x<0)putchar('-'),x=-x;ptf[lpt=1]=x%10;while(x>9)x/=10,ptf[++lpt]=x%10;while(lpt)putchar(ptf[lpt--]^48);if(c>0)putchar(c);
}
inline ll lowbit(ll x){return x&-x;}bool nop[MAXN];
int pr[MAXN],le,phi[MAXN];
inline void init(int n){nop[0]=nop[1]=1,phi[1]=1,le=0;for(int a=2;a<=n;a++){if(!nop[a])pr[++le]=a,phi[a]=a-1;for(int i=1,u;i<=le&&(u=pr[i]*a)<=n;i++){nop[u]=1;if(a%pr[i]==0)phi[u]=phi[a]*pr[i],i=le;else phi[u]=phi[a]*(pr[i]-1);}}
}
int n,k;
const int m=17;
ll dp[MAXN][18];
struct zkw{ll f[MAXN*3],lz[MAXN*3];int p;inline void init(int n){for(p=1;p<n+2;p<<=1);for(int i=p+n+2;i>0;i--)f[i]=INF;}inline void cg(int x,ll d){for(f[p+x]=d,x=(p+x)>>1;x;x>>=1)f[x]=min(f[x<<1],f[x<<1|1])+lz[x];}inline void add(int r,ll d){for(r=p+r+1;r>1;){if(r&1)f[r^1]+=d,lz[r^1]+=d;r>>=1,f[r]=min(f[r<<1],f[r<<1|1])+lz[r];}}
}T[17];
vector<int>Z[MAXN];
signed main()
{n=1e5,init(n);memset(dp,0x7f,sizeof(dp));for(int i=0;i<m;i++)T[i].init(n);dp[0][0]=0;for(int i=0;i<m;i++)T[i].cg(1,dp[0][i]);for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=i;j<=n;j+=i)Z[j].push_back(i);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=0;(1<<j)<=i;j++)for(int z:Z[i])T[j].add(z,phi[i/z]);for(int j=1;(1<<j)<=i;j++)dp[i][j]=T[j-1].f[1];for(int j=0;(1<<j)<=i+1;j++)T[j].cg(i+1,dp[i][j]);}for(int mudamudamudamudamuda=read();mudamudamudamudamuda--;){n=read(),k=read();if(k>m||(1<<k)>n)print(n);else print(dp[n][k]);}return 0;
}

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