最优化--等式约束最优性条件

所谓的最优性条件就是最优解的性质。

我们通过最优性条件的研究，能够对于优化的步骤，以及迭代求解时的结束条件有很大帮助。

最优化问题常见的有无约束优化，等式约束优化，不等式约束优化。这里用两篇blog分别讨论等式约束优化与不等式约束最优化的最优性条件。

我们首先讨论等式约束的情况下，其最优解满足怎样的性质。

三维空间：

以下以三维空间为特例，看看最优解有哪些性质。

如上图，X为局部最优解，那么其必在S1与S2的交线D（及可行域）上，并且目标函数与约束函数的梯度共面。如果不共面，那么f(x)梯度向可行域D上的投影不为零。于是沿着这个投影移动，可使得目标函数下降，也就不是最优解。

根据共面的条件，我们可以推出：

也就是三维空间的最优性条件。

等式约束一阶必要条件：

上述是三维空间上的特殊情况，对于等式约束的一般情况，我们可以通过微积分，来得到关于导函数的一些性质。下面直接写出其完整性质。

一阶必要条件：

上式为必要条件，不是充分条件。

具体解法：

我们可以定义如下的n+l元函数：

称为lagrange函数。也就是把目标函数与约束函数写在一起求解，并用向量的形式来表示。

上式分别对x与lamda求导为零求解后，即为可能极值点。

不过上述的点可能是鞍点，也可能是极值点，具体判断要用到如下的二阶充分条件。

*补充：我们使上面的拉格朗日乘子为0，可以求得可能极值点。不过如果采用序列迭代法，经证明，上面的函数没有最小值，也就是使用序列迭代法得不到解。

二阶充分条件：

在满足一阶必要条件的前提下，我们现在要判断所得的可能极值点到底是不是极值点，就要用到二阶充分判断条件：

若函数关于x的Hesse矩阵在约束超曲面的切平面上正定，则x就是严格局部极小点。

Hesse矩阵的知识：

在数学中，海森矩阵（Hessian matrix或Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

如果f所有的二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即：

其中，即

小结：等式最优化问题，把约束条件与目标函数写在一起，称为langrang函数，对X，lamda求导取零后，在通过二阶的hesse矩阵是否正定来进一步判断。